Question: Solve these problems slowly but in french , if you found it hard just give us nearest solution and hypothesis
1. Énoncé du problème : Calculer, à $G$ et $N$ fixés, le nombre de configurations possibles, i.e. le cardinal de $C$.
2. Formule et règles importantes :
Une configuration $c$ est une assignation des grenouilles $1, \ldots, G$ à des nénuphars distincts parmi $N$ nénuphars en cercle.
Deux configurations sont identiques si l'une s'obtient de l'autre par rotation ou retournement.
3. Calcul du nombre total d'assignations sans symétrie :
Le nombre de façons d'assigner $G$ grenouilles à $N$ nénuphars distincts est une permutation partielle :
$$ P(N,G) = \frac{N!}{(N-G)!} $$
4. Prise en compte des symétries :
Le groupe d'automorphismes du cercle est le groupe diédral $D_N$ de taille $2N$ (composé de $N$ rotations et $N$ retournements).
Chaque configuration est comptée $2N$ fois dans $P(N,G)$ si on ne tient pas compte des symétries.
5. Application du principe de dénombrement modulo symétrie :
Le nombre de configurations distinctes est donc :
$$ |C| = \frac{P(N,G)}{2N} = \frac{1}{2N} \times \frac{N!}{(N-G)!} $$
6. Conclusion :
Le cardinal de $C$ est
$$ \boxed{|C| = \frac{N!}{2N (N-G)!}} $$
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Cette réponse correspond à la première question du problème 1 Partie A.
q_count = 1