Permutations Empoisonnement Afaa04

1. **Énoncé du problème :** Nous devons déterminer le nombre d'assemblages de lettres différentes formés avec les lettres du mot EMPOISONNEMENT selon trois cas : a) sans contrainte, b) avec les trois lettres N consécutives, c) si les lettres identiques ne peuvent être séparées. 2. **Données importantes :** Le mot EMPOISONNEMENT contient 12 lettres avec des répétitions : - E : 3 fois - M : 2 fois - N : 3 fois - O : 2 fois - P, I, S, T : 1 fois chacun 3. **Formule générale pour permutations avec répétitions :** $$\text{Nombre de permutations} = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots}$$ avec $n$ le nombre total d'éléments et $n_i$ les répétitions de chaque élément. --- ### a) Sans contrainte 4. Calcul du nombre total de permutations : $$n = 12$$ $$n_E = 3, n_M = 2, n_N = 3, n_O = 2$$ 5. Application de la formule : $$\frac{12!}{3! \times 2! \times 3! \times 2!}$$ 6. Calcul intermédiaire : $$12! = 479001600$$ $$3! = 6, 2! = 2$$ 7. Simplification : $$\frac{479001600}{6 \times 2 \times 6 \times 2} = \frac{479001600}{144}$$ 8. Résultat : $$= 3 327 900$$ **Note :** Le résultat donné par l'utilisateur est $605404800$, ce qui semble incorrect pour ce calcul. Le résultat correct est $3 327 900$. --- ### b) Les trois lettres N sont consécutives 9. Considérons les trois N comme un seul bloc $N^*$. 10. Le nombre total d'éléments devient : $$12 - 3 + 1 = 10$$ 11. Les répétitions sont maintenant : - E : 3 - M : 2 - O : 2 - $N^*$ : 1 12. Nombre de permutations : $$\frac{10!}{3! \times 2! \times 2!}$$ 13. Calcul intermédiaire : $$10! = 3628800$$ $$3! = 6, 2! = 2$$ 14. Simplification : $$\frac{3628800}{6 \times 2 \times 2} = \frac{3628800}{24} = 151200$$ 15. Le bloc $N^*$ peut être arrangé en interne de : $$3! = 6$$ 16. Nombre total de permutations avec N consécutifs : $$151200 \times 6 = 907200$$ **Note :** L'utilisateur donne $19958400$, ce qui est différent. Le calcul correct est $907200$. --- ### c) Les lettres identiques ne peuvent être séparées 17. Cela signifie que toutes les lettres identiques sont groupées ensemble : - Les 3 E ensemble - Les 3 N ensemble - Les 2 M ensemble - Les 2 O ensemble 18. Chaque groupe est considéré comme un seul élément. 19. Nombre total d'éléments : $$4 \text{ groupes} + 4 \text{ lettres uniques} = 8$$ 20. Les groupes sont : - $E^*$ (3 E) - $N^*$ (3 N) - $M^*$ (2 M) - $O^*$ (2 O) - P, I, S, T 21. Nombre de permutations des 8 éléments : $$8! = 40320$$ 22. Chaque groupe peut être arrangé en interne : - $E^*$ : $3! = 6$ - $N^*$ : $3! = 6$ - $M^*$ : $2! = 2$ - $O^*$ : $2! = 2$ 23. Nombre total de permutations : $$8! \times 3! \times 3! \times 2! \times 2! = 40320 \times 6 \times 6 \times 2 \times 2$$ 24. Calcul intermédiaire : $$40320 \times 6 = 241920$$ $$241920 \times 6 = 1451520$$ $$1451520 \times 2 = 2903040$$ $$2903040 \times 2 = 5806080$$ 25. Résultat final : $$5 806 080$$ **Note :** L'utilisateur donne $40320$, ce qui correspond seulement à $8!$ sans multiplier par les arrangements internes. Le résultat complet est $5 806 080$. --- **Résumé des résultats corrects :** - a) $3 327 900$ - b) $907 200$ - c) $5 806 080$