Permutations Empoisonnement D372Ab

1. **Énoncé du problème** Nous devons déterminer le nombre d'assemblages différents des lettres du mot EMPOISONNEMENT dans trois cas : a) sans contrainte, b) avec les trois lettres N consécutives, c) avec les lettres identiques non séparées. 2. **Analyse des lettres** Le mot EMPOISONNEMENT contient 12 lettres au total. Comptons les occurrences de chaque lettre : - E : 2 fois - M : 2 fois - P : 1 fois - O : 2 fois - I : 1 fois - S : 1 fois - N : 3 fois - T : 1 fois 3. **Formule générale pour permutations avec répétitions** Le nombre total de permutations de $n$ objets avec des répétitions est donné par : $$ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots \times n_k!} $$ avec $n$ le nombre total d'objets et $n_i$ les nombres d'objets identiques. --- ### a) Sans contrainte Le nombre total de permutations est : $$ \frac{12!}{2! \times 2! \times 2! \times 3!} $$ Calculons : - $12! = 479001600$ - $2! = 2$ - $3! = 6$ Donc : $$ \frac{479001600}{2 \times 2 \times 2 \times 6} = \frac{479001600}{48} = 9979200 $$ --- ### b) Les trois lettres N sont consécutives Considérons les trois N comme un seul bloc $N_3$. Le nombre d'objets devient $12 - 3 + 1 = 10$ (le bloc $N_3$ compte pour 1). Les lettres restantes sont : E(2), M(2), P(1), O(2), I(1), S(1), T(1), et le bloc $N_3$(1). Le nombre de permutations est : $$ \frac{10!}{2! \times 2! \times 2!} $$ Calculons : - $10! = 3628800$ - $2! = 2$ Donc : $$ \frac{3628800}{2 \times 2 \times 2} = \frac{3628800}{8} = 453600 $$ --- ### c) Les lettres identiques ne peuvent être séparées Cela signifie que pour chaque lettre répétée, toutes ses occurrences doivent être groupées ensemble. Les groupes sont : - EE - MM - OO - NNN - P, I, S, T (lettres uniques) Le nombre total d'objets/groupes est : - 4 groupes de lettres répétées (EE, MM, OO, NNN) - 4 lettres uniques (P, I, S, T) Total = 8 objets à permuter, tous distincts. Le nombre de permutations est donc : $$ 8! = 40320 $$ --- **Réponses finales :** - a) $9979200$ - b) $453600$ - c) $40320$