Question: Matthias moet negen naamgerichte brieven in evenveel geadresseerde enveloppes steken. Hij is echter verstrooid en stopt elke brief willekeurig in een enveloppe.
a Op hoeveel manieren kan hij de brieven in de enveloppes steken?
b Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij minstens de eerste vier brieven in de juiste enveloppe zitten?
1. **Probleemstelling:**
Matthias heeft $9$ brieven en $9$ enveloppes, elk brief hoort bij een specifieke enveloppe. Hij stopt de brieven willekeurig in de enveloppes.
2. **Vraag a:** Op hoeveel manieren kan hij de brieven in de enveloppes steken?
3. **Formule:**
Het aantal manieren om $n$ verschillende objecten te permuteren is $n!$.
4. **Berekening voor a:**
Hier is $n=9$, dus het aantal manieren is:
$$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$$
5. **Vraag b:** Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij minstens de eerste vier brieven in de juiste enveloppe zitten?
6. **Uitleg:**
Als minstens de eerste vier brieven correct zitten, dan zitten deze vier vast op hun plek. De overige $9 - 4 = 5$ brieven kunnen willekeurig verdeeld worden over de resterende $5$ enveloppes.
7. **Berekening voor b:**
Het aantal manieren is het aantal permutaties van de resterende $5$ brieven:
$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
**Antwoorden:**
- a) $362880$
- b) $120$