Question: In een manege staan tien paardenstallen naast elkaar. Er zijn twee witte en acht bruine paarden die elk een stal bezetten.
a Op hoeveel manieren is de bezetting mogelijk?
b Op hoeveel manieren kan de bezetting gebeuren als de witte paarden elk aan een buitenkant moeten staan?
Op hoeveel manieren is de bezetting mogelijk als de witte paarden naast elkaar moeten staan?
1. **Probleemstelling:**
We hebben 10 paardenstallen naast elkaar, met 2 witte en 8 bruine paarden. We willen het aantal mogelijke bezettingen bepalen onder verschillende voorwaarden.
2. **Algemene formule:**
Het aantal manieren om $k$ objecten te kiezen uit $n$ zonder volgorde is de combinatie:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
3. **a) Op hoeveel manieren is de bezetting mogelijk?**
We kiezen 2 stallen voor de witte paarden uit 10 stallen. De rest (8) zijn automatisch voor bruine paarden.
$$\text{Aantal manieren} = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!8!}$$
4. **Berekening:**
$$\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$
5. **b) Op hoeveel manieren kan de bezetting gebeuren als de witte paarden elk aan een buitenkant moeten staan?**
De witte paarden moeten in de eerste of laatste stal staan. Er zijn 2 buitenkanten: stal 1 en stal 10.
De witte paarden kunnen op 2 manieren geplaatst worden (witte paard 1 links, witte paard 2 rechts of omgekeerd).
De rest van de stallen zijn voor bruine paarden.
6. **Berekening:**
$$\text{Aantal manieren} = 2! = 2$$
7. **c) Op hoeveel manieren is de bezetting mogelijk als de witte paarden naast elkaar moeten staan?**
De twee witte paarden moeten in aangrenzende stallen staan.
Er zijn 9 mogelijke paren van aangrenzende stallen: (1,2), (2,3), ..., (9,10).
Voor elk paar kunnen de witte paarden in 2! = 2 volgordes geplaatst worden.
8. **Berekening:**
$$\text{Aantal manieren} = 9 \times 2 = 18$$
**Antwoorden:**
- a) $45$
- b) $2$
- c) $18$