Complexe Getallen 686E87

1. **Stel het probleem vast:** We zoeken alle complexe getallen $z = x + yi$ waarvoor geldt dat $(1 + i)z^2 = -49 + 31i$. 2. **Schrijf de formule en regels op:** We weten dat $z = x + yi$ met $x, y \in \mathbb{R}$ en $i^2 = -1$. 3. **Bereken $z^2$:** $$z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$$ 4. **Vermenigvuldig met $(1+i)$:** $$(1+i)z^2 = (1+i)(x^2 - y^2 + 2xyi)$$ Gebruik distributiviteit: $$(1+i)(x^2 - y^2) + (1+i)(2xyi) = (x^2 - y^2) + i(x^2 - y^2) + 2xyi + 2xyi^2$$ 5. **Vervang $i^2 = -1$ en groepeer reële en imaginaire delen:** $$= (x^2 - y^2) + i(x^2 - y^2) + 2xyi - 2xy$$ $$= (x^2 - y^2 - 2xy) + i(x^2 - y^2 + 2xy)$$ 6. **Stel dit gelijk aan $-49 + 31i$:** $$\begin{cases} x^2 - y^2 - 2xy = -49 \\ x^2 - y^2 + 2xy = 31 \end{cases}$$ 7. **Los het stelsel op:** Tel de twee vergelijkingen op: $$2(x^2 - y^2) = -49 + 31 = -18$$ $$x^2 - y^2 = -9$$ Trek de eerste van de tweede af: $$4xy = 31 - (-49) = 80$$ $$xy = 20$$ 8. **Gebruik substitutie:** $$x^2 - y^2 = -9$$ $$xy = 20$$ Schrijf $y = \frac{20}{x}$ en vervang in de eerste: $$x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = -9$$ $$x^2 - \frac{400}{x^2} = -9$$ Vermenigvuldig met $x^2$: $$x^4 + 9x^2 - 400 = 0$$ 9. **Los de kwadratische vergelijking op in $x^2$:** Stel $t = x^2$: $$t^2 + 9t - 400 = 0$$ Gebruik de abc-formule: $$t = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 1600}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{1681}}{2}$$ $$\sqrt{1681} = 41$$ Dus: $$t_1 = \frac{-9 + 41}{2} = 16$$ $$t_2 = \frac{-9 - 41}{2} = -25$$ Omdat $t = x^2$ en $x^2 \geq 0$, negeren we $t_2 = -25$. 10. **Vind $x$ en $y$:** $$x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$$ Gebruik $xy = 20$: - Voor $x=4$: $4y = 20 \Rightarrow y = 5$ - Voor $x=-4$: $-4y = 20 \Rightarrow y = -5$ 11. **Oplossingen:** $$z_1 = 4 + 5i$$ $$z_2 = -4 - 5i$$ **Antwoord:** De complexe getallen $z$ die voldoen aan $(1+i)z^2 = -49 + 31i$ zijn $$4 + 5i$$ en $$-4 - 5i$$.