Question: Actividad 3 Modelo Hidráulico Unidad 2
Obténgase la Función de Transferencia Total para el Modelo de Ambos Tanques.
Qi1(s) Qo2(s)
TANQUE UNO
G1(s)=Q01(s)/Qi1(s)=1/(R1C1s+1)
q_i1(t)
Área
C1
H1(t)
q_o1(t)
q_i2(t)
q_o1(t)=q_i2(t)
R1
TANQUE DOS
G2(s)=Q02(s)/Qi2(s)=1/(R2C2s+1)
Área
C2
H2(t)
q_o2(t)
R2
Graph/shapes: a simple block diagram is located near the top-center with a green rounded rectangle and a left-to-right arrow from Qi1(s) to Qo2(s); two cylindrical tank diagrams are below, the first in the middle-left and the second in the lower-right, each with flow arrows, labeled levels H1(t) and H2(t), resistors R1 and R2, and transfer-function equations beside them. position_hint=top-center
No aplicar laplace por favor y con comparativa me ayudas a resolver
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos obtener la función de transferencia total del sistema formado por dos tanques hidráulicos en serie, sin usar transformada de Laplace.
2. **Datos y variables:**
- Para el tanque 1: resistencia $R_1$, capacidad $C_1$, nivel $H_1(t)$, flujo de entrada $q_{i1}(t)$ y flujo de salida $q_{o1}(t)$.
- Para el tanque 2: resistencia $R_2$, capacidad $C_2$, nivel $H_2(t)$, flujo de entrada $q_{i2}(t)$ y flujo de salida $q_{o2}(t)$.
- Se cumple que $q_{o1}(t) = q_{i2}(t)$ porque el flujo que sale del tanque 1 entra al tanque 2.
3. **Ecuaciones diferenciales de cada tanque:**
Para un tanque hidráulico, la dinámica del nivel $H(t)$ está dada por la ecuación:
$$ C \frac{dH}{dt} = q_i(t) - q_o(t) $$
Donde $C$ es la capacidad (área del tanque), $q_i(t)$ es el flujo de entrada y $q_o(t)$ el flujo de salida.
Además, el flujo de salida está relacionado con el nivel por la resistencia hidráulica:
$$ q_o(t) = \frac{H(t)}{R} $$
4. **Ecuación para el tanque 1:**
$$ C_1 \frac{dH_1}{dt} = q_{i1}(t) - \frac{H_1(t)}{R_1} $$
5. **Ecuación para el tanque 2:**
Como $q_{i2}(t) = q_{o1}(t) = \frac{H_1(t)}{R_1}$,
$$ C_2 \frac{dH_2}{dt} = \frac{H_1(t)}{R_1} - \frac{H_2(t)}{R_2} $$
6. **Sistema de ecuaciones diferenciales:**
$$ \begin{cases}
C_1 \frac{dH_1}{dt} = q_{i1}(t) - \frac{H_1(t)}{R_1} \\
C_2 \frac{dH_2}{dt} = \frac{H_1(t)}{R_1} - \frac{H_2(t)}{R_2}
\end{cases} $$
7. **Interpretación y comparación con función de transferencia:**
- La función de transferencia en Laplace para cada tanque es $G(s) = \frac{1}{R C s + 1}$.
- Sin usar Laplace, el sistema se describe con las ecuaciones diferenciales anteriores.
- La función de transferencia total relaciona $q_{i1}(t)$ con $q_{o2}(t)$, que es $\frac{H_2(t)}{R_2}$.
8. **Conclusión:**
- Para obtener la respuesta completa en tiempo real, se debe resolver el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.
- Esto se puede hacer con métodos numéricos o analíticos (por ejemplo, usando variables de estado).
- La función de transferencia total en Laplace es el producto de las funciones individuales:
$$ G_{total}(s) = G_1(s) \times G_2(s) = \frac{1}{R_1 C_1 s + 1} \times \frac{1}{R_2 C_2 s + 1} $$
- Sin Laplace, se trabaja con las ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales para simular o analizar el sistema.
**Respuesta:**
La función de transferencia total sin usar Laplace se representa por el sistema de ecuaciones diferenciales:
$$ \begin{cases}
C_1 \frac{dH_1}{dt} = q_{i1}(t) - \frac{H_1(t)}{R_1} \\
C_2 \frac{dH_2}{dt} = \frac{H_1(t)}{R_1} - \frac{H_2(t)}{R_2}
\end{cases} $$
Y el flujo de salida total es:
$$ q_{o2}(t) = \frac{H_2(t)}{R_2} $$