Question: Resolver la ecuación diferencial, por el método de Cauchy Euler, importante el procedimiento si es directo el resultado no va contar, aplicar fórmula general si es obligatorio para resolver cada ejercicio vale 9%, RECUERDE el examen tiene valor del 50%, tareas 40% asistencia 10%
1) $x^2y'' + 3xy' + 5y = 0$
2) $x^2y'' + 4xy' - y = 0$
3) $x^2y'' + 5xy' + 5y = 0$
4) $x^2y'' + 13xy' + 17y = 0$
5) $x^2y'' - 10xy' + 25y = 0$
6) $x^2y'' + 20xy' + 12y = 0$
1. **Planteamiento del problema:** Resolver la ecuación diferencial de Cauchy-Euler $$x^2y'' + 3xy' + 5y = 0$$ usando el método de Cauchy-Euler.
2. **Fórmula general y método:** Para ecuaciones de la forma $$x^2y'' + axy' + by = 0$$, se propone una solución de la forma $$y = x^m$$.
3. Derivamos: $$y' = mx^{m-1}$$ y $$y'' = m(m-1)x^{m-2}$$.
4. Sustituimos en la ecuación original:
$$x^2(m(m-1)x^{m-2}) + 3x(mx^{m-1}) + 5x^m = 0$$
5. Simplificamos:
$$m(m-1)x^m + 3m x^m + 5x^m = 0$$
6. Factorizamos $$x^m$$ (no nulo para $$x \neq 0$$):
$$x^m[m(m-1) + 3m + 5] = 0$$
7. Ecuación característica:
$$m(m-1) + 3m + 5 = 0$$
8. Expandimos:
$$m^2 - m + 3m + 5 = 0$$
$$m^2 + 2m + 5 = 0$$
9. Resolvemos la cuadrática:
$$m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}$$
10. Como el discriminante es negativo, las raíces son complejas:
$$m = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$
11. La solución general para raíces complejas $$\alpha \pm \beta i$$ es:
$$y = x^{\alpha}[C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x)]$$
12. Por lo tanto, la solución es:
$$y = x^{-1}[C_1 \cos(2 \ln x) + C_2 \sin(2 \ln x)]$$
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**Respuesta final:**
$$\boxed{y = x^{-1}[C_1 \cos(2 \ln x) + C_2 \sin(2 \ln x)]}$$