Question: Obtener la solución de: $2y^{\prime\prime}-3y=0$ incluyendo las operaciones correspondientes y comprobando la solución.
1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial $$2y^{\prime\prime}-3y=0$$.
2. Identificamos que es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
3. La forma característica es $$2r^2 - 3 = 0$$.
4. Despejamos $$r^2$$:
$$2r^2 = 3$$
$$r^2 = \frac{3}{2}$$
5. Calculamos $$r$$:
$$r = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$$
6. La solución general es:
$$y = C_1 e^{\frac{\sqrt{6}}{2}x} + C_2 e^{-\frac{\sqrt{6}}{2}x}$$
7. Comprobamos la solución derivando:
$$y' = C_1 \frac{\sqrt{6}}{2} e^{\frac{\sqrt{6}}{2}x} - C_2 \frac{\sqrt{6}}{2} e^{-\frac{\sqrt{6}}{2}x}$$
$$y^{\prime\prime} = C_1 \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 e^{\frac{\sqrt{6}}{2}x} + C_2 \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 e^{-\frac{\sqrt{6}}{2}x} = C_1 \frac{6}{4} e^{\frac{\sqrt{6}}{2}x} + C_2 \frac{6}{4} e^{-\frac{\sqrt{6}}{2}x}$$
8. Sustituimos en la ecuación original:
$$2y^{\prime\prime} - 3y = 2 \left(C_1 \frac{6}{4} e^{\frac{\sqrt{6}}{2}x} + C_2 \frac{6}{4} e^{-\frac{\sqrt{6}}{2}x}\right) - 3 \left(C_1 e^{\frac{\sqrt{6}}{2}x} + C_2 e^{-\frac{\sqrt{6}}{2}x}\right)$$
$$= C_1 \left(2 \times \frac{6}{4} - 3\right) e^{\frac{\sqrt{6}}{2}x} + C_2 \left(2 \times \frac{6}{4} - 3\right) e^{-\frac{\sqrt{6}}{2}x} = 0$$
9. Como $$2 \times \frac{6}{4} - 3 = 3 - 3 = 0$$, la solución satisface la ecuación.
Por lo tanto, la solución general es:
$$y = C_1 e^{\frac{\sqrt{6}}{2}x} + C_2 e^{-\frac{\sqrt{6}}{2}x}$$