Ecuacion Diferencial 985304

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos la ecuación diferencial de segundo orden no homogénea: $$y'' - y' = \frac{1}{e^x + 1}$$ Nuestro objetivo es encontrar la solución general $y(x)$. 2. **Ecuación homogénea asociada:** Primero resolvemos la ecuación homogénea: $$y'' - y' = 0$$ La ecuación característica es: $$r^2 - r = 0$$ Factorizamos: $$r(r - 1) = 0$$ Por lo tanto, $$r = 0 \quad \text{o} \quad r = 1$$ La solución general de la homogénea es: $$y_h = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{1 \cdot x} = C_1 + C_2 e^x$$ 3. **Solución particular:** Para la parte no homogénea, $$y'' - y' = \frac{1}{e^x + 1}$$ Intentamos encontrar una solución particular $y_p$ usando el método de variación de parámetros. 4. **Reescribimos la ecuación en forma estándar:** $$y'' - y' = g(x)$$ con $$g(x) = \frac{1}{e^x + 1}$$ 5. **Funciones fundamentales:** Las soluciones de la homogénea son: $$y_1 = 1, \quad y_2 = e^x$$ 6. **Cálculo del Wronskiano:** $$W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & e^x \\ 0 & e^x \end{vmatrix} = 1 \cdot e^x - 0 \cdot e^x = e^x$$ 7. **Fórmulas para variación de parámetros:** $$u_1' = -\frac{y_2 g(x)}{W} = -\frac{e^x \cdot \frac{1}{e^x + 1}}{e^x} = -\frac{1}{e^x + 1}$$ $$u_2' = \frac{y_1 g(x)}{W} = \frac{1 \cdot \frac{1}{e^x + 1}}{e^x} = \frac{1}{e^x (e^x + 1)}$$ 8. **Integración para encontrar $u_1$ y $u_2$:** $$u_1 = -\int \frac{1}{e^x + 1} dx$$ $$u_2 = \int \frac{1}{e^x (e^x + 1)} dx$$ 9. **Integral de $u_1$:** Sea $t = e^x$, entonces $dt = e^x dx = t dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$. Entonces: $$u_1 = -\int \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{dt}{t} = -\int \frac{1}{t(t+1)} dt$$ Descomponemos en fracciones parciales: $$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$$ Multiplicando por $t(t+1)$: $$1 = A(t+1) + Bt = (A + B) t + A$$ Igualando coeficientes: $$A = 1, \quad A + B = 0 \Rightarrow B = -1$$ Por lo tanto: $$u_1 = -\int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt = -\left( \ln|t| - \ln|t+1| \right) + C = -\ln \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$$ Volviendo a $x$: $$u_1 = -\ln \left( \frac{e^x}{e^x + 1} \right) + C = -\ln(e^x) + \ln(e^x + 1) + C = -x + \ln(e^x + 1) + C$$ 10. **Integral de $u_2$:** $$u_2 = \int \frac{1}{e^x (e^x + 1)} dx = \int \frac{1}{t(t+1)} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{1}{t^2 (t+1)} dt$$ Esta integral es más compleja, pero podemos usar fracciones parciales: $$\frac{1}{t^2 (t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{C}{t+1}$$ Multiplicando por $t^2 (t+1)$: $$1 = A t (t+1) + B (t+1) + C t^2 = A t^2 + A t + B t + B + C t^2 = (A + C) t^2 + (A + B) t + B$$ Igualando coeficientes: Para $t^2$: $A + C = 0$ Para $t$: $A + B = 0$ Para término independiente: $B = 1$ De $B=1$, entonces $A + 1 = 0 \Rightarrow A = -1$ De $A + C = 0 \Rightarrow -1 + C = 0 \Rightarrow C = 1$ Entonces: $$\frac{1}{t^2 (t+1)} = \frac{-1}{t} + \frac{1}{t^2} + \frac{1}{t+1}$$ Por lo tanto: $$u_2 = \int \left( -\frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} + \frac{1}{t+1} \right) dt = -\ln|t| - \frac{1}{t} + \ln|t+1| + C$$ Volviendo a $x$: $$u_2 = -x - e^{-x} + \ln(e^x + 1) + C$$ 11. **Solución particular:** $$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = u_1 \cdot 1 + u_2 e^x = u_1 + u_2 e^x$$ Sustituyendo: $$y_p = \left(-x + \ln(e^x + 1)\right) + \left(-x - e^{-x} + \ln(e^x + 1)\right) e^x$$ Simplificamos $u_2 e^x$: $$u_2 e^x = -x e^x - 1 + e^x \ln(e^x + 1)$$ Entonces: $$y_p = -x + \ln(e^x + 1) - x e^x - 1 + e^x \ln(e^x + 1)$$ Agrupando términos: $$y_p = -x - x e^x - 1 + \ln(e^x + 1) (1 + e^x)$$ 12. **Solución general:** $$y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^x - x - x e^x - 1 + (1 + e^x) \ln(e^x + 1)$$ 13. **Conclusión:** La solución general de la ecuación diferencial dada es: $$\boxed{y = C_1 + C_2 e^x - x - x e^x - 1 + (1 + e^x) \ln(e^x + 1)}$$ Donde $C_1$ y $C_2$ son constantes arbitrarias.