Question: Instrucciones: Para cada uno de los siguientes ejercicios; identificar el método correcto para resolver la ecuación presentada (Euler, coeficientes indeterminados, variación de parámetros) justificar porque es el método correcto y obtener la respuesta correcta.
$$x^2 y^{\prime\prime}+2xy^{\prime}-5y=0$$
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos resolver la ecuación diferencial $$x^2 y^{\prime\prime}+2xy^{\prime}-5y=0$$.
2. **Identificación del método:**
Esta es una ecuación diferencial de Euler-Cauchy (o ecuación de tipo Euler) porque los coeficientes de $$y^{\prime\prime}$$, $$y^{\prime}$$ y $$y$$ son potencias de $$x$$ que coinciden con el orden de la derivada: $$x^2$$ para $$y^{\prime\prime}$$, $$x$$ para $$y^{\prime}$$ y constante para $$y$$.
3. **Método Euler-Cauchy:**
Se propone una solución de la forma $$y=x^m$$.
4. **Derivadas:**
$$y=x^m \implies y^{\prime}=m x^{m-1} \quad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}$$
5. **Sustitución en la ecuación:**
$$x^2 \cdot m(m-1)x^{m-2} + 2x \cdot m x^{m-1} - 5 x^m = 0$$
6. **Simplificación:**
$$m(m-1)x^m + 2m x^m - 5 x^m = 0$$
7. **Factor común $$x^m$$ (no nulo para $$x \neq 0$$):**
$$x^m [m(m-1) + 2m - 5] = 0$$
8. **Ecuación característica:**
$$m(m-1) + 2m - 5 = 0$$
9. **Expansión:**
$$m^2 - m + 2m - 5 = 0 \Rightarrow m^2 + m - 5 = 0$$
10. **Resolviendo la cuadrática:**
$$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$$
11. **Solución general:**
$$y = C_1 x^{\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}} + C_2 x^{\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}}$$
12. **Justificación:**
El método de Euler es correcto porque la ecuación tiene coeficientes que son potencias de $$x$$ coincidiendo con el orden de la derivada, lo que permite usar la forma $$y=x^m$$ para encontrar soluciones.
**Respuesta final:**
$$y = C_1 x^{\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}} + C_2 x^{\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}}$$