Ecuacion Tercer Orden D16A77

1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial de tercer orden $$y^{\prime\prime\prime} - 3y^{\prime\prime} + y = 0$$. 2. Usamos la técnica de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. La solución general se encuentra resolviendo la ecuación característica asociada: $$r^3 - 3r^2 + 1 = 0$$ 3. Buscamos las raíces de la ecuación característica. No es factible factorizar fácilmente, por lo que aplicamos el método de Cardano o buscamos raíces aproximadas. 4. Probamos posibles raíces racionales con el teorema del residuo: posibles raíces son $$\pm 1$$. Evaluamos en $$r=1$$: $$1^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \neq 0$$ Evaluamos en $$r=-1$$: $$(-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = -1 - 3 + 1 = -3 \neq 0$$ No hay raíces racionales simples. 5. Aplicamos la fórmula de Cardano para la ecuación cúbica $$r^3 - 3r^2 + 1 = 0$$. Primero, hacemos el cambio de variable $$r = t + 1$$ para eliminar el término cuadrático: $$ (t+1)^3 - 3(t+1)^2 + 1 = 0 $$ Expandimos: $$ t^3 + 3t^2 + 3t + 1 - 3(t^2 + 2t + 1) + 1 = 0 $$ Simplificamos: $$ t^3 + 3t^2 + 3t + 1 - 3t^2 - 6t - 3 + 1 = 0 $$ $$ t^3 + (3t^2 - 3t^2) + (3t - 6t) + (1 - 3 + 1) = 0 $$ $$ t^3 - 3t - 1 = 0 $$ 6. Ahora resolvemos $$t^3 - 3t - 1 = 0$$ usando Cardano: Definimos: $$ p = -3, \quad q = -1 $$ La fórmula para las raíces es: $$ t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} $$ Calculamos: $$ \left(\frac{q}{2}\right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ $$ \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(-1\right)^3 = -1 $$ Entonces: $$ \Delta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} < 0 $$ Como el discriminante es negativo, hay tres raíces reales y usamos la forma trigonométrica: $$ t_k = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{1}{3} \arccos\left(\frac{3q}{2p} \sqrt{-\frac{3}{p}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2 $$ Calculamos: $$ \sqrt{-\frac{p}{3}} = \sqrt{-\frac{-3}{3}} = \sqrt{1} = 1 $$ $$ \frac{3q}{2p} \sqrt{-\frac{3}{p}} = \frac{3(-1)}{2(-3)} \sqrt{-\frac{3}{-3}} = \frac{-3}{-6} \sqrt{1} = \frac{1}{2} $$ Entonces: $$ t_k = 2 \cos\left(\frac{1}{3} \arccos\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right) $$ Sabemos que $$\arccos(1/2) = \frac{\pi}{3}$$, por lo que: $$ t_k = 2 \cos\left(\frac{\pi}{9} - \frac{2\pi k}{3}\right) $$ Para $$k=0,1,2$$: - $$t_0 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{9}\right)$$ - $$t_1 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(-\frac{5\pi}{9}\right) = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{9}\right)$$ - $$t_2 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(-\frac{11\pi}{9}\right) = 2 \cos\left(\frac{11\pi}{9}\right)$$ 7. Finalmente, recordamos que $$r = t + 1$$, por lo que las raíces son: $$ r_k = 1 + t_k $$ 8. La solución general de la ecuación diferencial es: $$ y(x) = C_1 e^{r_0 x} + C_2 e^{r_1 x} + C_3 e^{r_2 x} $$ Donde $$C_1, C_2, C_3$$ son constantes arbitrarias. --- **Respuesta final:** $$ y(x) = C_1 e^{\left(1 + 2 \cos\left(\frac{\pi}{9}\right)\right) x} + C_2 e^{\left(1 + 2 \cos\left(\frac{5\pi}{9}\right)\right) x} + C_3 e^{\left(1 + 2 \cos\left(\frac{11\pi}{9}\right)\right) x} $$