Laplace Ecuacion Diferencial 8A2Bdf

1. **Planteamiento del problema:** Resolver la ecuación diferencial $$4y'' + y' + 7y = 0$$ con condiciones iniciales $$y(0) = 4$$ y $$y'(0) = 1$$ usando la transformada de Laplace. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** La transformada de Laplace de una derivada es: $$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$$ $$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$$ Donde $$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$. 3. **Aplicar la transformada de Laplace a la ecuación:** $$4\mathcal{L}\{y''\} + \mathcal{L}\{y'\} + 7\mathcal{L}\{y\} = 0$$ Sustituyendo: $$4(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)) + (sY(s) - y(0)) + 7Y(s) = 0$$ 4. **Sustituir condiciones iniciales:** $$y(0) = 4, \quad y'(0) = 1$$ 5. **Expandir y simplificar:** $$4s^2Y(s) - 4s \times 4 - 4 \times 1 + sY(s) - 4 + 7Y(s) = 0$$ $$4s^2Y(s) - 16s - 4 + sY(s) - 4 + 7Y(s) = 0$$ 6. **Agrupar términos con $$Y(s)$$ y constantes:** $$(4s^2 + s + 7)Y(s) - 16s - 8 = 0$$ 7. **Despejar $$Y(s)$$:** $$(4s^2 + s + 7)Y(s) = 16s + 8$$ $$Y(s) = \frac{16s + 8}{4s^2 + s + 7}$$ 8. **Simplificar la fracción:** No se puede simplificar más, pero podemos completar el cuadrado en el denominador para facilitar la transformada inversa: $$4s^2 + s + 7 = 4\left(s^2 + \frac{s}{4} + \frac{7}{4}\right)$$ Completar cuadrado: $$s^2 + \frac{s}{4} + \frac{7}{4} = \left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{7}{4} - \frac{1}{64} = \left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{111}{64}$$ 9. **Reescribir $$Y(s)$$:** $$Y(s) = \frac{16s + 8}{4\left(\left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{111}{64}\right)} = \frac{16s + 8}{4\left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{111}{16}}$$ 10. **Separar términos para la transformada inversa:** Escribimos el numerador en función de $$s + \frac{1}{8}$$: $$16s + 8 = 16\left(s + \frac{1}{8}\right) + 16 \times \left(-\frac{1}{8}\right) + 8 = 16\left(s + \frac{1}{8}\right) + 6$$ 11. **Dividir $$Y(s)$$:** $$Y(s) = \frac{16\left(s + \frac{1}{8}\right)}{4\left(\left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{111}{64}\right)} + \frac{6}{4\left(\left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \frac{111}{64}\right)}$$ Simplificando: $$Y(s) = 4 \frac{s + \frac{1}{8}}{\left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{111}}{8}\right)^2} + \frac{3/2}{\left(s + \frac{1}{8}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{111}}{8}\right)^2}$$ 12. **Aplicar transformada inversa de Laplace:** Recordando que: $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2}\right\} = e^{at} \cos(bt)$$ $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{b}{(s - a)^2 + b^2}\right\} = e^{at} \sin(bt)$$ 13. **Resultado final:** $$y(t) = 4 e^{-\frac{t}{8}} \cos\left(\frac{\sqrt{111}}{8} t\right) + \frac{3}{\sqrt{111}} e^{-\frac{t}{8}} \sin\left(\frac{\sqrt{111}}{8} t\right)$$ Este es el resultado de la solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas.