Question: 2: Método de superposición ecuación diferencial: $$y''' - 3y'' + 3y' - y = e^x - x + 16.$$
1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial $$y''' - 3y'' + 3y' - y = e^x - x + 16.$$ usando el método de superposición.
2. El método de superposición consiste en descomponer el término no homogéneo en sumandos y resolver la ecuación para cada uno por separado, luego sumar las soluciones particulares.
3. La ecuación es lineal con coeficientes constantes, por lo que primero encontramos la solución general de la homogénea asociada:
$$y''' - 3y'' + 3y' - y = 0.$$
4. Planteamos la ecuación característica:
$$r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0.$$
5. Observamos que $$r=1$$ es raíz, ya que:
$$1^3 - 3(1)^2 + 3(1) - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0.$$
6. Dividimos el polinomio por $$r-1$$:
$$\frac{r^3 - 3r^2 + 3r - 1}{r-1} = r^2 - 2r + 1.$$
7. Factorizamos el cuadrático:
$$r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2.$$
8. Por lo tanto, la raíz $$r=1$$ es triple.
9. La solución general de la homogénea es:
$$y_h = (C_1 + C_2 x + C_3 x^2) e^x.$$
10. Ahora, descomponemos el término no homogéneo:
$$g(x) = e^x - x + 16 = g_1(x) + g_2(x) + g_3(x)$$
con $$g_1(x) = e^x$$, $$g_2(x) = -x$$, $$g_3(x) = 16.$$
11. Buscamos soluciones particulares $$y_{p1}, y_{p2}, y_{p3}$$ para cada término.
12. Para $$g_1(x) = e^x$$, dado que $$e^x$$ está en la solución homogénea con multiplicidad 3, probamos:
$$y_{p1} = A x^3 e^x.$$
13. Derivamos $$y_{p1}$$ tres veces y sustituimos en la ecuación para encontrar $$A$$.
14. Para $$g_2(x) = -x$$, probamos una solución polinómica de grado 1:
$$y_{p2} = B x + C.$$
15. Derivamos y sustituimos en la ecuación para hallar $$B$$ y $$C$$.
16. Para $$g_3(x) = 16$$, probamos una constante:
$$y_{p3} = D.$$
17. Derivamos y sustituimos para hallar $$D$$.
18. Finalmente, la solución general es:
$$y = y_h + y_{p1} + y_{p2} + y_{p3}.$$