Question: Para raíces de la ecuación característica de una ecuación diferencial de grado $n$: Calcular la solución general de $y^4 - 2y^{\prime\prime\prime} + 4y^{\prime\prime} - 8y^{\prime} = 0$. Incluyendo las operaciones necesarias para llegar al resultado
1. **Plantear el problema:**
Queremos encontrar la solución general de la ecuación diferencial de cuarto orden $$y^{(4)} - 2y^{(3)} + 4y^{(2)} - 8y^{(1)} = 0$$ donde $y^{(k)}$ denota la derivada de orden $k$ de $y$.
2. **Formar la ecuación característica:**
Para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, la solución se encuentra resolviendo la ecuación característica asociada:
$$r^4 - 2r^3 + 4r^2 - 8r = 0$$
3. **Factorizar la ecuación característica:**
Primero, sacamos factor común:
$$r(r^3 - 2r^2 + 4r - 8) = 0$$
Esto nos da una raíz inmediata:
$$r = 0$$
4. **Resolver el polinomio cúbico restante:**
$$r^3 - 2r^2 + 4r - 8 = 0$$
Probamos posibles raíces racionales usando el teorema del residuo (divisores de 8): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.
Probamos $r=2$:
$$2^3 - 2(2)^2 + 4(2) - 8 = 8 - 8 + 8 - 8 = 0$$
Entonces $r=2$ es raíz.
5. **Dividir el polinomio por $(r-2)$:**
Usamos división sintética:
\begin{align*}
&\quad r^3 - 2r^2 + 4r - 8 \\
&= (r - 2)(r^2 + 0r + 4)
\end{align*}
6. **Resolver la cuadrática:**
$$r^2 + 4 = 0$$
$$r^2 = -4$$
$$r = \pm 2i$$
7. **Raíces encontradas:**
$$r = 0, r = 2, r = 2i, r = -2i$$
8. **Formar la solución general:**
Para raíces reales simples $r_1$ y $r_2$, la solución es $C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
Para raíces complejas conjugadas $\alpha \pm \beta i$, la solución es $e^{\alpha x}(C_3 \cos(\beta x) + C_4 \sin(\beta x))$.
Aquí:
- $r=0$ da $C_1 e^{0 \cdot x} = C_1$
- $r=2$ da $C_2 e^{2x}$
- $r=\pm 2i$ da $C_3 \cos(2x) + C_4 \sin(2x)$
9. **Solución general completa:**
$$y(x) = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 \cos(2x) + C_4 \sin(2x)$$
Donde $C_1, C_2, C_3, C_4$ son constantes arbitrarias determinadas por condiciones iniciales o de frontera.