Question: Para raíces de la ecuación característica de una ecuación diferencial de grado $n$: Calcular la solución general de $y^4-2y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}-8y^{\prime}=0$. Incluyendo las operaciones necesarias para llegar al resultado
1. **Plantear el problema:**
Queremos encontrar la solución general de la ecuación diferencial $$y^{(4)} - 2y^{(3)} + 4y^{(2)} - 8y^{(1)} = 0$$ donde $y^{(k)}$ denota la derivada de orden $k$ de $y$.
2. **Formar la ecuación característica:**
Para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, la solución se encuentra resolviendo la ecuación característica asociada:
$$r^4 - 2r^3 + 4r^2 - 8r = 0$$
3. **Factorizar la ecuación característica:**
Primero, sacamos factor común:
$$r(r^3 - 2r^2 + 4r - 8) = 0$$
4. **Resolver $r=0$:**
Una raíz es $r=0$.
5. **Resolver el polinomio cúbico:**
$$r^3 - 2r^2 + 4r - 8 = 0$$
Probamos raíces racionales posibles (divisores de 8): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.
Probamos $r=2$:
$$2^3 - 2(2^2) + 4(2) - 8 = 8 - 8 + 8 - 8 = 0$$
Entonces $r=2$ es raíz.
6. **Dividir el polinomio por $(r-2)$:**
Usamos división sintética o larga:
$$r^3 - 2r^2 + 4r - 8 \div (r-2) = r^2 + 4$$
7. **Resolver $r^2 + 4 = 0$:**
$$r^2 = -4 \implies r = \pm 2i$$
8. **Raíces encontradas:**
$$r = 0, r = 2, r = 2i, r = -2i$$
9. **Formar la solución general:**
Para raíces reales simples $r=0$ y $r=2$, las soluciones son $e^{0x} = 1$ y $e^{2x}$.
Para raíces complejas conjugadas $\alpha \pm \beta i = 0 \pm 2i$, la solución es:
$$e^{0x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$$
10. **Solución general completa:**
$$y(x) = C_3 + C_4 e^{2x} + C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$$
Donde $C_1, C_2, C_3, C_4$ son constantes arbitrarias.
**Respuesta final:**
$$\boxed{y(x) = C_3 + C_4 e^{2x} + C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x}$$