Question: Utilice el método de variación de parámetros para determinar la solución particular, $y_p$, de la ecuación diferencial no homogénea $$y''' + y' = 6x^2 - 3$$. Evalúe esta solución particular en $x = 1.4$. Escriba su respuesta aproximada al milésimo más próximo.
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar la solución particular $y_p$ de la ecuación diferencial no homogénea $$y''' + y' = 6x^2 - 3$$ usando el método de variación de parámetros.
2. **Ecuación homogénea asociada:**
La ecuación homogénea es $$y''' + y' = 0$$.
3. **Encontrar la solución general homogénea:**
La ecuación característica es $$r^3 + r = 0$$.
Factorizamos: $$r(r^2 + 1) = 0$$.
Las raíces son $$r=0$$ y $$r=\pm i$$.
Por lo tanto, la solución general homogénea es:
$$y_h = C_1 + C_2 \cos x + C_3 \sin x$$.
4. **Método de variación de parámetros:**
Buscamos una solución particular de la forma:
$$y_p = u_1(x) \cdot 1 + u_2(x) \cos x + u_3(x) \sin x$$,
donde $u_1, u_2, u_3$ son funciones a determinar.
5. **Sistema para $u_i'$:**
Definimos:
$$y_p = u_1 + u_2 \cos x + u_3 \sin x$$
$$y_p' = u_1' + u_2' \cos x + u_3' \sin x - u_2 \sin x + u_3 \cos x$$
Para simplificar, imponemos las condiciones:
$$u_1' + u_2' \cos x + u_3' \sin x = 0$$
$$-u_2' \sin x + u_3' \cos x = 0$$
6. **Derivada segunda y tercera:**
Derivamos para obtener $y_p'''$ y sustituimos en la ecuación original para encontrar $u_i'$.
7. **Sistema simplificado:**
El sistema para $u_i'$ es:
$$\begin{cases}
u_1' + u_2' \cos x + u_3' \sin x = 0 \\ -u_2' \sin x + u_3' \cos x = 0 \\ -u_2' \cos x - u_3' \sin x = 6x^2 - 3 \end{cases}$$
8. **Resolviendo el sistema:**
De la segunda ecuación:
$$-u_2' \sin x + u_3' \cos x = 0 \implies u_3' = u_2' \tan x$$
Sustituyendo en la tercera:
$$-u_2' \cos x - u_2' \tan x \sin x = 6x^2 - 3$$
Como $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, entonces:
$$-u_2' \cos x - u_2' \frac{\sin^2 x}{\cos x} = 6x^2 - 3$$
Multiplicamos por $\cos x$:
$$-u_2' \cos^2 x - u_2' \sin^2 x = (6x^2 - 3) \cos x$$
Usando identidad trigonométrica $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$$-u_2' = (6x^2 - 3) \cos x$$
Por lo tanto:
$$u_2' = -(6x^2 - 3) \cos x$$
9. **Encontrar $u_3'$:**
$$u_3' = u_2' \tan x = -(6x^2 - 3) \cos x \cdot \tan x = -(6x^2 - 3) \sin x$$
10. **Encontrar $u_1'$:**
De la primera ecuación:
$$u_1' + u_2' \cos x + u_3' \sin x = 0$$
Sustituyendo $u_2'$ y $u_3'$:
$$u_1' - (6x^2 - 3) \cos^2 x - (6x^2 - 3) \sin^2 x = 0$$
Usando identidad trigonométrica:
$$u_1' - (6x^2 - 3)(\cos^2 x + \sin^2 x) = 0$$
$$u_1' - (6x^2 - 3) = 0$$
$$u_1' = 6x^2 - 3$$
11. **Integrar para obtener $u_i$:**
$$u_1 = \int (6x^2 - 3) dx = 2x^3 - 3x + C$$
$$u_2 = -\int (6x^2 - 3) \cos x dx$$
$$u_3 = -\int (6x^2 - 3) \sin x dx$$
12. **Calcular $u_2$ e $u_3$ (integrales por partes):**
Para $u_2$:
$$I_1 = \int (6x^2 - 3) \cos x dx = 6 \int x^2 \cos x dx - 3 \int \cos x dx$$
Para $\int x^2 \cos x dx$, usamos integración por partes dos veces:
Sea $u = x^2$, $dv = \cos x dx$, entonces $du = 2x dx$, $v = \sin x$.
$$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x dx$$
Para $\int 2x \sin x dx$, otra integración por partes:
Sea $u = 2x$, $dv = \sin x dx$, entonces $du = 2 dx$, $v = -\cos x$.
$$\int 2x \sin x dx = -2x \cos x + 2 \int \cos x dx = -2x \cos x + 2 \sin x$$
Por lo tanto:
$$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - (-2x \cos x + 2 \sin x) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x$$
Entonces:
$$I_1 = 6(x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x) - 3 \sin x = 6x^2 \sin x + 12x \cos x - 12 \sin x - 3 \sin x = 6x^2 \sin x + 12x \cos x - 15 \sin x$$
Así:
$$u_2 = -I_1 = -6x^2 \sin x - 12x \cos x + 15 \sin x + C$$
Para $u_3$:
$$I_2 = \int (6x^2 - 3) \sin x dx = 6 \int x^2 \sin x dx - 3 \int \sin x dx$$
Para $\int x^2 \sin x dx$, integración por partes:
Sea $u = x^2$, $dv = \sin x dx$, entonces $du = 2x dx$, $v = -\cos x$.
$$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx$$
Para $\int 2x \cos x dx$, otra integración por partes:
Sea $u = 2x$, $dv = \cos x dx$, entonces $du = 2 dx$, $v = \sin x$.
$$\int 2x \cos x dx = 2x \sin x - 2 \int \sin x dx = 2x \sin x + 2 \cos x$$
Por lo tanto:
$$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x$$
Entonces:
$$I_2 = 6(-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x) + 3 \cos x = -6x^2 \cos x + 12x \sin x + 12 \cos x + 3 \cos x = -6x^2 \cos x + 12x \sin x + 15 \cos x$$
Así:
$$u_3 = -I_2 = 6x^2 \cos x - 12x \sin x - 15 \cos x + C$$
13. **Solución particular:**
$$y_p = u_1 + u_2 \cos x + u_3 \sin x$$
Sustituyendo:
$$y_p = (2x^3 - 3x) + (-6x^2 \sin x - 12x \cos x + 15 \sin x) \cos x + (6x^2 \cos x - 12x \sin x - 15 \cos x) \sin x$$
14. **Simplificar términos trigonométricos:**
Expandimos:
$$y_p = 2x^3 - 3x - 6x^2 \sin x \cos x - 12x \cos^2 x + 15 \sin x \cos x + 6x^2 \cos x \sin x - 12x \sin^2 x - 15 \cos x \sin x$$
Los términos $-6x^2 \sin x \cos x$ y $6x^2 \cos x \sin x$ se cancelan.
Los términos $15 \sin x \cos x$ y $-15 \cos x \sin x$ se cancelan.
Queda:
$$y_p = 2x^3 - 3x - 12x \cos^2 x - 12x \sin^2 x$$
Usando identidad trigonométrica:
$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$
Entonces:
$$y_p = 2x^3 - 3x - 12x (\cos^2 x + \sin^2 x) = 2x^3 - 3x - 12x = 2x^3 - 15x$$
15. **Evaluar en $x=1.4$:**
$$y_p(1.4) = 2(1.4)^3 - 15(1.4) = 2(2.744) - 21 = 5.488 - 21 = -15.512$$
Redondeando al milésimo más próximo:
$$y_p(1.4) \approx -15.512$$