Question: Utilice el método de variación de parámetros para determinar la solución particular, $y_p$, de la ecuación diferencial no homogénea $$y''' + 64y' = 5\cos(5x)$$ Evalúe esta solución particular en $x = 1.4$. Escriba su respuesta aproximada al centésimo más próximo.
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar la solución particular $y_p$ de la ecuación diferencial no homogénea $$y''' + 64y' = 5\cos(5x)$$ usando el método de variación de parámetros y luego evaluar $y_p$ en $x=1.4$.
2. **Ecuación homogénea asociada:**
La ecuación homogénea es $$y''' + 64y' = 0$$
Podemos escribirla como $$y''' = -64y'$$.
3. **Solución general de la homogénea:**
Buscamos soluciones de la forma $y = e^{mx}$, entonces:
$$m^3 + 64m = 0 \implies m(m^2 + 64) = 0$$
Las raíces son:
$$m=0, \quad m=8i, \quad m=-8i$$
Por lo tanto, la solución homogénea es:
$$y_h = C_1 + C_2\cos(8x) + C_3\sin(8x)$$
4. **Método de variación de parámetros:**
Para la solución particular, proponemos:
$$y_p = u_1(x) \cdot 1 + u_2(x) \cos(8x) + u_3(x) \sin(8x)$$
Donde $u_1, u_2, u_3$ son funciones a determinar.
5. **Sistema para $u_i'$:**
Definimos:
$$y_p = u_1 + u_2 \cos(8x) + u_3 \sin(8x)$$
$$y_p' = u_1' + u_2' \cos(8x) + u_3' \sin(8x) + u_2(-8\sin(8x)) + u_3(8\cos(8x))$$
Para simplificar, imponemos las condiciones:
$$u_1' + u_2' \cos(8x) + u_3' \sin(8x) = 0$$
$$-8 u_2' \sin(8x) + 8 u_3' \cos(8x) = 0$$
6. **Derivadas sucesivas y sistema:**
La tercera derivada de $y_p$ es:
$$y_p''' = u_1''' + u_2''' \cos(8x) + u_3''' \sin(8x) + \text{términos con } u_i', u_i''$$
Pero para variación de parámetros, solo necesitamos resolver el sistema:
$$\begin{cases}
u_1' + \nu_2' \cos(8x) + \nu_3' \sin(8x) = 0 \\ -8 \nu_2' \sin(8x) + 8 \nu_3' \cos(8x) = 0 \\ -64 \nu_2' \cos(8x) - 64 \nu_3' \sin(8x) = 5 \cos(5x) \end{cases}$$
7. **Matriz y determinante (Wronskiano):**
La matriz de coeficientes es:
$$\begin{bmatrix} 1 & \cos(8x) & \sin(8x) \\ 0 & -8\sin(8x) & 8\cos(8x) \\ 0 & -64\cos(8x) & -64\sin(8x) \end{bmatrix}$$
El determinante (Wronskiano) es:
$$W = 512 \neq 0$$
8. **Solución para $u_i'$:**
Usando Cramer, se obtiene:
$$u_1' = 0$$
$$u_2' = -\frac{5}{64} \cos(5x) \sin(8x)$$
$$u_3' = -\frac{5}{64} \cos(5x) \cos(8x)$$
9. **Integración para $u_2$ y $u_3$:**
$$u_2 = -\frac{5}{64} \int \cos(5x) \sin(8x) dx$$
$$u_3 = -\frac{5}{64} \int \cos(5x) \cos(8x) dx$$
10. **Integrales usando identidades trigonométricas:**
$$\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$$
$$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$$
Entonces:
$$u_2 = -\frac{5}{128} \int [\sin(13x) - \sin(3x)] dx = -\frac{5}{128} \left[-\frac{\cos(13x)}{13} + \frac{\cos(3x)}{3}\right] + C$$
$$u_3 = -\frac{5}{128} \int [\cos(3x) + \cos(13x)] dx = -\frac{5}{128} \left[\frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(13x)}{13}\right] + C$$
11. **Solución particular:**
$$y_p = u_2 \cos(8x) + u_3 \sin(8x)$$
Sustituyendo $u_2$ y $u_3$:
$$y_p = -\frac{5}{128} \left[-\frac{\cos(13x)}{13} + \frac{\cos(3x)}{3}\right] \cos(8x) - \frac{5}{128} \left[\frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(13x)}{13}\right] \sin(8x)$$
12. **Evaluación en $x=1.4$:**
Calculamos numéricamente:
$$y_p(1.4) \approx -\frac{5}{128} \left[-\frac{\cos(18.2)}{13} + \frac{\cos(4.2)}{3}\right] \cos(11.2) - \frac{5}{128} \left[\frac{\sin(4.2)}{3} + \frac{\sin(18.2)}{13}\right] \sin(11.2)$$
Usando aproximaciones:
$$\cos(18.2) \approx 0.6603, \quad \cos(4.2) \approx -0.4903, \quad \cos(11.2) \approx 0.0044$$
$$\sin(4.2) \approx -0.8716, \quad \sin(18.2) \approx -0.7510, \quad \sin(11.2) \approx -0.9999$$
Calculamos cada término:
$$A = -\frac{5}{128} \left[-\frac{0.6603}{13} + \frac{-0.4903}{3}\right] \times 0.0044 \approx -\frac{5}{128} \times (-0.169) \times 0.0044 \approx 2.9 \times 10^{-5}$$
$$B = -\frac{5}{128} \left[\frac{-0.8716}{3} + \frac{-0.7510}{13}\right] \times (-0.9999) \approx -\frac{5}{128} \times (-0.337) \times (-0.9999) \approx -0.0132$$
Finalmente:
$$y_p(1.4) \approx 2.9 \times 10^{-5} - 0.0132 = -0.0132$$
**Respuesta aproximada:**
$$y_p(1.4) \approx -0.01$$