Ensembles A B 26A768

1. **Problème 1 : Déterminer $A$ et $B$ à partir des données** Données : - $A \cap B = \{1, 2, 3\}$ - $B \setminus A = \{6, 7, 9\}$ - $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ - $A \setminus B = \{4, 5\}$ 2. **Rappel des définitions** - $A \cap B$ est l'ensemble des éléments communs à $A$ et $B$. - $A \setminus B$ est l'ensemble des éléments dans $A$ mais pas dans $B$. - $B \setminus A$ est l'ensemble des éléments dans $B$ mais pas dans $A$. - $A \cup B$ est l'ensemble des éléments dans $A$ ou $B$ ou les deux. 3. **Trouvons $A$ et $B$** - $A = (A \cap B) \cup (A \setminus B) = \{1, 2, 3\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ - $B = (A \cap B) \cup (B \setminus A) = \{1, 2, 3\} \cup \{6, 7, 9\} = \{1, 2, 3, 6, 7, 9\}$ 4. **Vérification** - $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{1, 2, 3, 6, 7, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$, conforme à la donnée. --- 5. **Problème 2 : Déterminer en extension $(A \cup B) \cap C$, $(A \setminus B) \cup C$, $B \cup (C \setminus A)$** Données : - $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x < 3\}$ - $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |1 - x| \leq 5\}$ - $C = \{x \in \mathbb{R} \mid |3 - 2x| > 2\}$ 6. **Trouvons les intervalles pour $B$ et $C$** - $|1 - x| \leq 5 \implies -5 \leq 1 - x \leq 5$ $\Rightarrow -5 \leq 1 - x$ et $1 - x \leq 5$ $\Rightarrow x \leq 6$ et $x \geq -4$ Donc $B = [-4, 6]$ - $|3 - 2x| > 2$ signifie deux cas : $3 - 2x > 2$ ou $3 - 2x < -2$ Cas 1 : $3 - 2x > 2 \Rightarrow -2x > -1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}$ Cas 2 : $3 - 2x < -2 \Rightarrow -2x < -5 \Rightarrow x > \frac{5}{2}$ Donc $C = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$ 7. **Calcul de $(A \cup B)$** - $A = [-1, 3)$ - $B = [-4, 6]$ $A \cup B = [-4, 6]$ 8. **Calcul de $(A \cup B) \cap C$** - $[-4, 6] \cap \left((-2\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)\right) = [-4, 6] \cap (-\infty, \frac{1}{2}) \cup [-4, 6] \cap (\frac{5}{2}, +\infty)$ - $= [-4, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{2}, 6]$ 9. **Calcul de $(A \setminus B) \cup C$** - $A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}$ - Comme $B = [-4, 6]$ contient $A = [-1, 3)$, $A \setminus B = \emptyset$ - Donc $(A \setminus B) \cup C = \emptyset \cup C = C = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$ 10. **Calcul de $B \cup (C \setminus A)$** - $C \setminus A = C \cap A^c$ - $A^c = (-\infty, -1) \cup [3, +\infty)$ - $C = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$ - $C \cap A^c = (-\infty, \frac{1}{2}) \cap (-\infty, -1) \cup (\frac{5}{2}, +\infty) \cap [3, +\infty)$ - $= (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ - $B = [-4, 6]$ - $B \cup (C \setminus A) = [-4, 6] \cup (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) = (-\infty, 6]$ --- 11. **Problème 3 : Définition de $A$** - $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x = 2n - 1, n \in \mathbb{N}\}$ - Cela signifie que $A$ est l'ensemble des entiers impairs positifs (car $n \in \mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\}$) - Pour $n=0$, $x = -1$ (impair négatif), pour $n=1$, $x=1$, etc. - Donc $A = \{\ldots, -3, -1, 1, 3, 5, 7, \ldots\}$, tous les entiers impairs. **Réponses finales :** - $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ - $B = \{1, 2, 3, 6, 7, 9\}$ - $(A \cup B) \cap C = [-4, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{2}, 6]$ - $(A \setminus B) \cup C = (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$ - $B \cup (C \setminus A) = (-\infty, 6]$ - $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x = 2n - 1, n \in \mathbb{N}\}$ (ensemble des entiers impairs)