Ensembles Inclusions 05Bb8C

1. **EXERCICE 50** **Problème :** Montrer que $A = \{3\pi + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ est inclus dans $B = \{\pi/3 + 2k\pi/3 \mid k \in \mathbb{Z}\}$, puis vérifier si $B \subset A$. **Formule et règles :** Pour $A \subset B$, il faut que tout élément de $A$ soit aussi dans $B$. **Étapes :** 1. Un élément de $A$ est $3\pi + 2k\pi$. 2. On cherche $m \in \mathbb{Z}$ tel que $3\pi + 2k\pi = \pi/3 + 2m\pi/3$. 3. Écrivons l'équation : $$3\pi + 2k\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{2m\pi}{3}$$ 4. Multiplions par 3 pour simplifier : $$9\pi + 6k\pi = \pi + 2m\pi$$ 5. Simplifions : $$9 + 6k = 1 + 2m$$ $$2m = 8 + 6k$$ $$m = 4 + 3k$$ 6. Comme $k$ est entier, $m$ est entier. Donc tout élément de $A$ est dans $B$, donc $A \subset B$. 7. Pour $B \subset A$, on cherche $k \in \mathbb{Z}$ tel que $$\pi/3 + 2k\pi/3 = 3\pi + 2m\pi$$ 8. Multiplions par 3 : $$\pi + 2k\pi = 9\pi + 6m\pi$$ $$1 + 2k = 9 + 6m$$ $$2k = 8 + 6m$$ $$k = 4 + 3m$$ 9. $k$ entier implique $m$ entier, donc $B \subset A$ aussi. **Conclusion :** $A = B$. 2. **EXERCICE 51** 1) **Problème :** Trouver $[-3\pi; 2\pi] \cap \{ -\pi/2 - k\pi/4 \mid k \in \mathbb{Z} \}$. **Étapes :** 1. L'ensemble est les points $x = -\pi/2 - k\pi/4$ dans l'intervalle $[-3\pi, 2\pi]$. 2. Trouvons les $k$ tels que $$-3\pi \leq -\frac{\pi}{2} - k\frac{\pi}{4} \leq 2\pi$$ 3. Multiplions par $-1$ (inversion des inégalités) : $$3\pi \geq \frac{\pi}{2} + k\frac{\pi}{4} \geq -2\pi$$ 4. Soustrayons $\pi/2$ : $$3\pi - \frac{\pi}{2} \geq k\frac{\pi}{4} \geq -2\pi - \frac{\pi}{2}$$ $$\frac{5\pi}{2} \geq k\frac{\pi}{4} \geq -\frac{5\pi}{2}$$ 5. Divisons par $\pi/4$ : $$\frac{5\pi/2}{\pi/4} = 10 \geq k \geq -10$$ 6. Donc $k \in \{-10, -9, ..., 9, 10\}$. 2) **Problème :** Montrer que $A = \{-\pi/2 + 2k\pi/3 \mid k \in \mathbb{Z}\}$ et $B = \{-\pi/3 + k\pi/3 \mid k \in \mathbb{Z}\}$ ont une intersection vide. **Étapes :** 1. Cherchons $x$ tel que $$-\frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \frac{m\pi}{3}$$ 2. Réarrangeons : $$\frac{2k\pi}{3} - \frac{m\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$$ 3. Multiplions par 6 : $$4k\pi - 2m\pi = \pi$$ 4. Simplifions par $\pi$ : $$4k - 2m = 1$$ 5. Or $4k - 2m$ est pair, donc ne peut pas être égal à 1. **Conclusion :** $A \cap B = \emptyset$. 3. **EXERCICE 52** **Problème :** $A = \{x \in \mathbb{R} \mid 3x + 4 \geq 5x \text{ et } 2x + 3 < x + 6\}$ **Étapes :** 1. Résolvons les inégalités : $$3x + 4 \geq 5x \Rightarrow 4 \geq 2x \Rightarrow x \leq 2$$ $$2x + 3 < x + 6 \Rightarrow x < 3$$ 2. Donc $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2\}$. 3. $B = A \cap \mathbb{Z} = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \leq 2\}$. 4. $C = A \cap \mathbb{N} = \{0,1,2\}$ (en supposant $\mathbb{N} = \{0,1,2,...\}$). 5. Conditions : $$B \setminus X = \{-2\}$$ $$X \setminus B = \{-3,3\}$$ 6. Cela signifie que $X$ contient tous les éléments de $B$ sauf $-2$, et contient aussi $-3$ et $3$ qui ne sont pas dans $B$. 7. Donc $$X = (B \setminus \{-2\}) \cup \{-3,3\} = \{..., -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3\}$$ 8. Pour $Y$ : $$C \cap Y = \{1,2\}$$ $$C \cup Y = \{0,1,2,4,5\}$$ 9. Comme $C = \{0,1,2\}$, on a $$Y \subseteq \{0,1,2,4,5\}$$ 10. $C \cap Y = \{1,2\}$ implique que $Y$ contient $1$ et $2$. 11. $C \cup Y = \{0,1,2,4,5\}$ implique que $Y$ contient $4$ et $5$ (car $0,1,2$ sont déjà dans $C$). 12. Donc $$Y = \{1,2,4,5\}$$ 4. **EXERCICE 53** 1) **Problème :** Trouver $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid \frac{x^2 - x + 2}{2x + 1} \in \mathbb{Z}\}$. **Étapes :** 1. Posons $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{2x + 1}$. 2. Pour $f(x)$ entier, $2x + 1$ doit diviser $x^2 - x + 2$. 3. Effectuons la division euclidienne : $$x^2 - x + 2 = (2x + 1)Q + R$$ 4. Cherchons $Q$ et $R$ : $Q = \frac{x}{2} - \frac{3}{4}$ n'est pas entier, donc essayons une autre méthode. 5. Testons quelques valeurs entières de $x$ pour voir quand $f(x)$ est entier : - $x = 0$: $f(0) = \frac{0 - 0 + 2}{1} = 2$ entier. - $x = -1$: $f(-1) = \frac{1 + 1 + 2}{-1} = \frac{4}{-1} = -4$ entier. - $x = 1$: $f(1) = \frac{1 - 1 + 2}{3} = \frac{2}{3}$ non entier. - $x = -2$: $f(-2) = \frac{4 + 2 + 2}{-3} = \frac{8}{-3}$ non entier. 6. Cherchons $x$ tels que $2x + 1$ divise $x^2 - x + 2$. 7. Posons $d = 2x + 1$, alors $x = \frac{d - 1}{2}$. 8. Substituons dans le numérateur : $$x^2 - x + 2 = \left(\frac{d - 1}{2}\right)^2 - \frac{d - 1}{2} + 2 = \frac{(d - 1)^2}{4} - \frac{d - 1}{2} + 2$$ 9. Simplifions : $$= \frac{d^2 - 2d + 1}{4} - \frac{d - 1}{2} + 2 = \frac{d^2 - 2d + 1}{4} - \frac{2d - 2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{d^2 - 2d + 1 - 2d + 2 + 8}{4} = \frac{d^2 - 4d + 11}{4}$$ 10. Donc $$f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{2x + 1} = \frac{\frac{d^2 - 4d + 11}{4}}{d} = \frac{d^2 - 4d + 11}{4d}$$ 11. Pour que $f(x)$ soit entier, $4d$ doit diviser $d^2 - 4d + 11$. 12. Comme $d$ divise $d^2$ et $-4d$, la divisibilité dépend de $4d$ divisant $11$. 13. $4d$ divise $11$ implique que $4d$ est un diviseur de $11$, donc $4d = \pm 1, \pm 11$. 14. $4d = \pm 1$ impossible car $4d$ multiple de 4. 15. $4d = \pm 11$ impossible car 11 n'est pas multiple de 4. 16. Conclusion : pas de solution sauf si $d$ divise $11$ et $4d$ divise $d^2 - 4d + 11$. 17. Testons $d = \pm 1, \pm 11$ : - $d=1$: $f = \frac{1 - 4 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$ entier. - $d=-1$: $f = \frac{1 + 4 + 11}{-4} = \frac{16}{-4} = -4$ entier. - $d=11$: $f = \frac{121 - 44 + 11}{44} = \frac{88}{44} = 2$ entier. - $d=-11$: $f = \frac{121 + 44 + 11}{-44} = \frac{176}{-44} = -4$ entier. 18. Trouvons $x$ correspondants : $$x = \frac{d - 1}{2}$$ - $d=1 \Rightarrow x=0$ - $d=-1 \Rightarrow x=-1$ - $d=11 \Rightarrow x=5$ - $d=-11 \Rightarrow x=-6$ 19. Donc $A = \{-6, -1, 0, 5\}$. 2) **Problème :** $E = \{\pi/10 + k\pi/5 \mid |k - 1| \leq 3, k \in \mathbb{Z}\}$ $F = \{\cos(\pi/10 + k\pi/5) \mid k \in \mathbb{Z}\}$ **Étapes :** 1. $|k - 1| \leq 3$ implique $-2 \leq k \leq 4$. 2. Donc $k \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$. 3. Calculons $E$ : - $k=-2$: $\pi/10 - 2\pi/5 = \pi/10 - 4\pi/10 = -3\pi/10$ - $k=-1$: $\pi/10 - \pi/5 = \pi/10 - 2\pi/10 = -\pi/10$ - $k=0$: $\pi/10$ - $k=1$: $\pi/10 + \pi/5 = \pi/10 + 2\pi/10 = 3\pi/10$ - $k=2$: $\pi/10 + 4\pi/10 = 5\pi/10 = \pi/2$ - $k=3$: $\pi/10 + 6\pi/10 = 7\pi/10$ - $k=4$: $\pi/10 + 8\pi/10 = 9\pi/10$ 4. Donc $$E = \{-3\pi/10, -\pi/10, \pi/10, 3\pi/10, \pi/2, 7\pi/10, 9\pi/10\}$$ 5. Pour $F$, c'est l'ensemble des cosinus de ces angles pour tout $k \in \mathbb{Z}$. 6. Comme $\cos$ est périodique de période $2\pi$, $F$ est l'ensemble des valeurs de $\cos$ en $\pi/10 + k\pi/5$. 7. $\pi/5 = 2\pi/10$, donc les angles sont en progression arithmétique de $2\pi/10$. 8. $F$ est donc l'ensemble des valeurs de $\cos$ en $\pi/10 + 2k\pi/10$ pour $k \in \mathbb{Z}$. 9. Cet ensemble est fini car $\cos$ est périodique de $2\pi$ et $2\pi/10 = \pi/5$. 10. Les valeurs distinctes sont donc $\cos(\pi/10), \cos(3\pi/10), \cos(5\pi/10), \cos(7\pi/10), \cos(9\pi/10), \cos(11\pi/10), \cos(13\pi/10), \cos(15\pi/10), \cos(17\pi/10), \cos(19\pi/10)$. 11. En simplifiant avec la symétrie du cosinus, on obtient un ensemble de 5 valeurs distinctes. **Réponses finales :** - Ex 50 : $A = B$. - Ex 51 : 1) $k \in \{-10, ..., 10\}$ pour l'intersection. 2) $A \cap B = \emptyset$. - Ex 52 : $X = \{..., -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3\}$ $Y = \{1, 2, 4, 5\}$ - Ex 53 : 1) $A = \{-6, -1, 0, 5\}$ 2) $E = \{-3\pi/10, -\pi/10, \pi/10, 3\pi/10, \pi/2, 7\pi/10, 9\pi/10\}$ $F$ est l'ensemble des cosinus de ces angles et leurs périodiques.