Question: Resuelve el siguiente ejercicio:
En dos grupos independientes se obtuvieron las siguientes puntuaciones ordinales de satisfacción:
Grupo A: $8$, $7$, $9$, $6$, $8$, $7$ Grupo B: $5$, $6$, $4$, $7$, $5$, $6$
Utiliza un nivel de significancia $\alpha = 0.05$.
a) Formula $H_0$ y $H_1$.
b) Ordena conjuntamente las observaciones y asigna los rangos correspondientes. En caso de empate, utiliza el promedio de los rangos.
c) Calcula $U_x$, $U_y$ y determina $U_m=\min(U_x,U_y)$.
d) Establece la regla de decisión utilizando la tabla de Mann-Whitney,
e) Toma una decisión respecto a $H_0$.
f) Formula una conclusión estadística en el contexto del problema
1. **Planteamiento del problema:**
Se comparan dos grupos independientes con puntuaciones ordinales para determinar si hay diferencia significativa en la satisfacción.
2. **Formulación de hipótesis:**
- $H_0$: No hay diferencia en la distribución de satisfacción entre los grupos.
- $H_1$: Hay diferencia en la distribución de satisfacción entre los grupos.
3. **Datos:**
- Grupo A: $8, 7, 9, 6, 8, 7$
- Grupo B: $5, 6, 4, 7, 5, 6$
4. **Ordenar conjuntamente y asignar rangos:**
Datos combinados: $4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9$
Asignación de rangos con promedio en empates:
- $4$: rango $1$
- $5,5$: rangos $2$ y $3$, promedio $\frac{2+3}{2}=2.5$
- $6,6,6$: rangos $4,5,6$, promedio $\frac{4+5+6}{3}=5$
- $7,7,7$: rangos $7,8,9$, promedio $\frac{7+8+9}{3}=8$
- $8,8$: rangos $10,11$, promedio $\frac{10+11}{2}=10.5$
- $9$: rango $12$
5. **Asignar rangos a cada grupo:**
- Grupo A: $8(10.5), 7(8), 9(12), 6(5), 8(10.5), 7(8)$
- Grupo B: $5(2.5), 6(5), 4(1), 7(8), 5(2.5), 6(5)$
6. **Calcular sumas de rangos:**
- $R_x = 10.5 + 8 + 12 + 5 + 10.5 + 8 = 54$
- $R_y = 2.5 + 5 + 1 + 8 + 2.5 + 5 = 24$
7. **Calcular $U_x$ y $U_y$:**
Fórmulas:
$$U_x = n_x n_y + \frac{n_x(n_x+1)}{2} - R_x$$
$$U_y = n_x n_y + \frac{n_y(n_y+1)}{2} - R_y$$
Donde $n_x = n_y = 6$
Calcular $U_x$:
$$U_x = 6 \times 6 + \frac{6 \times 7}{2} - 54 = 36 + 21 - 54 = 3$$
Calcular $U_y$:
$$U_y = 6 \times 6 + \frac{6 \times 7}{2} - 24 = 36 + 21 - 24 = 33$$
8. **Determinar $U_m$:**
$$U_m = \min(U_x, U_y) = \min(3, 33) = 3$$
9. **Regla de decisión:**
Para $n_x = n_y = 6$ y $\alpha = 0.05$ (bilateral), el valor crítico de Mann-Whitney es $5$ (según tabla).
10. **Decisión:**
Como $U_m = 3 < 5$, se rechaza $H_0$.
11. **Conclusión:**
Hay evidencia estadística suficiente para afirmar que existe una diferencia significativa en la satisfacción entre los dos grupos al nivel de significancia $0.05$.