Question: Ayudame con este problema matemático de Interés compuesto:
Si un fondo de ahorro paga intereses a razón de 6,6% por año capitalizable semestralmente. ¿Cuánto dinero invertido ahora llegará a L6946 en 13 años?
(Exprese su respuesta sin decimales. Por ejemplo: L8569)
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar el monto inicial $P$ que, invertido a una tasa de interés del $6.6\%$ anual capitalizable semestralmente, se convierte en $6946$ después de $13$ años.
2. **Fórmula del interés compuesto:**
$$ A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} $$
Donde:
- $A$ es el monto final ($6946$)
- $P$ es el monto inicial que queremos encontrar
- $r$ es la tasa anual en forma decimal ($0.066$)
- $n$ es el número de periodos de capitalización por año ($2$ semestres)
- $t$ es el tiempo en años ($13$)
3. **Sustituimos los valores:**
$$ 6946 = P \left(1 + \frac{0.066}{2}\right)^{2 \times 13} $$
4. **Calculamos la tasa por periodo:**
$$ 1 + \frac{0.066}{2} = 1 + 0.033 = 1.033 $$
5. **Calculamos el exponente:**
$$ 2 \times 13 = 26 $$
6. **Evaluamos la potencia:**
$$ 1.033^{26} \approx 2.25219 $$
7. **Despejamos $P$:**
$$ P = \frac{6946}{2.25219} $$
8. **Simplificamos la fracción mostrando cancelación:**
$$ P = \frac{\cancel{6946}}{\cancel{2.25219}} $$
9. **Calculamos el valor de $P$:**
$$ P \approx 3085.5 $$
10. **Respuesta final sin decimales:**
$$ P = 3086 $$
El dinero que se debe invertir ahora es **3086** para que en 13 años se convierta en 6946 con la tasa y capitalización dadas.