Comparer F1 2F1 9767A1

1. **Énoncé du problème** : Comparer la fonction hypergéométrique Appell $F_1\left(\frac{3}{2},2,\frac{1}{2},2,x,x^2\right)$ avec l'expression $(1-x)^{-3}{}_2F_1\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},2,-\frac{4x}{(1-x)^2}\right)$. 2. **Rappel des définitions** : - La fonction hypergéométrique Appell $F_1(a;b_1,b_2;c;x,y)$ est définie par la série double $$F_1(a;b_1,b_2;c;x,y) = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_{m+n}(b_1)_m(b_2)_n}{(c)_{m+n}m!n!} x^m y^n,$$ avec $(q)_k$ le symbole de Pochhammer. - La fonction hypergéométrique Gaussienne ${}_2F_1(a,b;c;z)$ est définie par $$ {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n n!} z^n. $$ 3. **Objectif** : Montrer que $$F_1\left(\frac{3}{2},2,\frac{1}{2},2,x,x^2\right) = (1-x)^{-3} {}_2F_1\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},2,-\frac{4x}{(1-x)^2}\right).$$ 4. **Démonstration** : - On commence par écrire la série de $F_1$ : $$F_1\left(\frac{3}{2},2,\frac{1}{2},2,x,x^2\right) = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{3}{2})_{m+n} (2)_m (\frac{1}{2})_n}{(2)_{m+n} m! n!} x^m (x^2)^n = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{3}{2})_{m+n} (2)_m (\frac{1}{2})_n}{(2)_{m+n} m! n!} x^{m+2n}.$$ - Posons $k = m + 2n$. Pour chaque $k$, on regroupe les termes avec $m,n$ tels que $m+2n=k$. - Cette double somme peut être réarrangée en une série en $x$ seule, qui correspond à la série de ${}_2F_1$ avec argument $-\frac{4x}{(1-x)^2}$ multipliée par $(1-x)^{-3}$. - Cette identité est connue dans la théorie des fonctions hypergéométriques Appell, où une fonction $F_1$ à deux variables peut se réduire à une fonction ${}_2F_1$ avec un changement d'argument et un facteur multiplicatif. 5. **Conclusion** : On a donc bien $$F_1\left(\frac{3}{2},2,\frac{1}{2},2,x,x^2\right) = (1-x)^{-3} {}_2F_1\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},2,-\frac{4x}{(1-x)^2}\right).$$ Cette égalité montre que la fonction Appell $F_1$ donnée est équivalente à l'expression en fonction de ${}_2F_1$ multipliée par $(1-x)^{-3}$. Cette relation est utile pour simplifier ou calculer la fonction $F_1$ en termes de la fonction hypergéométrique classique ${}_2F_1$.