Question: trabajo práctico evaluativo
1) graficar las siguientes funciones por partes con tabla de valores.
a) f(x) =
{
2^{x+3} si x<-1
x^2 + 2 si -11
}
b) g(x) = -2x+1 si x<2
\log_3(x+1) - 2 si x\geq2
2) Analizar si el límite de la siguiente función existe en los puntos indicados. Justificar la respuesta.
1. **Planteamiento del problema:**
Se nos piden dos funciones definidas por partes, y debemos graficarlas usando tablas de valores para cada tramo.
2. **Función a) f(x):**
$$f(x) = \begin{cases} 2^{x+3} & x < -1 \\ x^2 + 2 & -1 < x \leq 1 \\ \log_2(x+1) + 2 & x > 1 \end{cases}$$
3. **Tabla de valores para cada tramo:**
- Para $x < -1$, elegimos valores como $-3, -2, -1.5$:
$$\begin{array}{c|c}
x & f(x) = 2^{x+3} \\\hline
-3 & 2^{0} = 1 \\
-2 & 2^{1} = 2 \\
-1.5 & 2^{1.5} = 2^{1 + 0.5} = 2 \times \sqrt{2} \approx 2.828
\end{array}$$
- Para $-1 < x \leq 1$, elegimos $-0.5, 0, 1$:
$$\begin{array}{c|c}
x & f(x) = x^2 + 2 \\\hline
-0.5 & (-0.5)^2 + 2 = 0.25 + 2 = 2.25 \\
0 & 0 + 2 = 2 \\
1 & 1 + 2 = 3
\end{array}$$
- Para $x > 1$, elegimos $2, 3, 4$:
$$\begin{array}{c|c}
x & f(x) = \log_2(x+1) + 2 \\\hline
2 & \log_2(3) + 2 \approx 1.585 + 2 = 3.585 \\
3 & \log_2(4) + 2 = 2 + 2 = 4 \\
4 & \log_2(5) + 2 \approx 2.322 + 2 = 4.322
\end{array}$$
4. **Función b) g(x):**
$$g(x) = \begin{cases} -2x + 1 & x < 2 \\ \log_3(x+1) - 2 & x \geq 2 \end{cases}$$
5. **Tabla de valores para cada tramo:**
- Para $x < 2$, elegimos $0, 1, 1.5$:
$$\begin{array}{c|c}
x & g(x) = -2x + 1 \\\hline
0 & 1 \\
1 & -2 + 1 = -1 \\
1.5 & -3 + 1 = -2
\end{array}$$
- Para $x \geq 2$, elegimos $2, 3, 4$:
$$\begin{array}{c|c}
x & g(x) = \log_3(x+1) - 2 \\\hline
2 & \log_3(3) - 2 = 1 - 2 = -1 \\
3 & \log_3(4) - 2 \approx 1.262 - 2 = -0.738 \\
4 & \log_3(5) - 2 \approx 1.465 - 2 = -0.535
\end{array}$$
6. **Análisis de límites en puntos indicados:**
- Para $f(x)$ en $x = -1$:
Límite por la izquierda:
$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = 2^{-1+3} = 2^{2} = 4$$
Límite por la derecha:
$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$$
Como los límites laterales no coinciden, el límite en $x = -1$ no existe.
- Para $f(x)$ en $x = 1$:
Límite por la izquierda:
$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 2 = 3$$
Límite por la derecha:
$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \log_2(1+1) + 2 = \log_2(2) + 2 = 1 + 2 = 3$$
Los límites laterales coinciden y son iguales a $3$, por lo que el límite existe y es $3$.
- Para $g(x)$ en $x = 2$:
Límite por la izquierda:
$$\lim_{x \to 2^-} g(x) = -2(2) + 1 = -4 + 1 = -3$$
Límite por la derecha:
$$\lim_{x \to 2^+} g(x) = \log_3(3) - 2 = 1 - 2 = -1$$
Los límites laterales no coinciden, por lo que el límite en $x=2$ no existe.
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**Resumen:**
- Límites que no existen: $f$ en $x=-1$, $g$ en $x=2$.
- Límite que existe: $f$ en $x=1$ con valor $3$.