Question: Dos funciones $f$ y $g$ están definidas en la figura a continuación. Dominio de $f$ Rango de $f$ Dominio de $g$ Rango de $g$ Hallar el dominio y el rango de la composición $g\circ f$. Escribir las respuestas en notación conjuntista. (a) Dominio de $g\circ f$ : (b) Rango de $g\circ f$ :

1. **Planteamiento del problema:** Queremos encontrar el dominio y rango de la composición $g\circ f$, es decir, $g(f(x))$. 2. **Datos de las funciones:** - Dominio de $f$: $\{0,1,3,5,6\}$ - Rango de $f$: $\{0,1,2,4\}$ - Dominio de $g$: $\{0,1,2,7\}$ - Rango de $g$: $\{3,4,9\}$ 3. **Dominio de $g\circ f$:** El dominio de $g\circ f$ son todos los valores $x$ en el dominio de $f$ tales que $f(x)$ está en el dominio de $g$. 4. **Evaluamos $f(x)$ para cada $x$ en el dominio de $f$ y verificamos si $f(x)$ está en el dominio de $g$:** - $f(0) = 4$ (no está en dominio de $g$) - $f(1) = 1$ (sí está en dominio de $g$) - $f(3) = 0$ (sí está en dominio de $g$) - $f(5) = 0$ (sí está en dominio de $g$) - $f(6) = 2$ (sí está en dominio de $g$) Por lo tanto, el dominio de $g\circ f$ es $\{1,3,5,6\}$. 5. **Rango de $g\circ f$:** El rango de $g\circ f$ es el conjunto de valores $g(f(x))$ para $x$ en el dominio de $g\circ f$. Calculamos: - $g(f(1)) = g(1) = 4$ - $g(f(3)) = g(0) = 4$ - $g(f(5)) = g(0) = 4$ - $g(f(6)) = g(2) = 9$ Por lo tanto, el rango de $g\circ f$ es $\{4,9\}$. **Respuesta final:** (a) Dominio de $g\circ f = \{1,3,5,6\}$ (b) Rango de $g\circ f = \{4,9\}$