Funcion Por Partes 810D80

1. **Planteamiento del problema:** Queremos graficar la función por partes $$f(x) = \begin{cases} |x| & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{1}{2}x - 1 & \text{si } 2 < x \leq 8 \end{cases}$$ Indicando su dominio y conjunto imagen. 2. **Dominio:** El dominio es el conjunto de valores de $$x$$ para los cuales la función está definida. Aquí, $$x$$ puede tomar cualquier valor desde $$-\infty$$ hasta $$8$$, porque la primera parte es para $$x \leq 2$$ y la segunda para $$2 < x \leq 8$$. Por lo tanto, el dominio es $$(-\infty, 8]$$. 3. **Conjunto imagen:** Calculamos los valores posibles de $$f(x)$$ para cada parte. - Para $$x \leq 2$$, $$f(x) = |x|$$. El valor mínimo de $$|x|$$ en este intervalo es en $$x=2$$, donde $$|2|=2$$. El valor máximo se acerca a $$+\infty$$ cuando $$x \to -\infty$$ porque $$|x|$$ crece sin límite. - Para $$2 < x \leq 8$$, $$f(x) = \frac{1}{2}x - 1$$. Evaluamos en los extremos: $$f(2^+) = \frac{1}{2} \times 2 - 1 = 1 - 1 = 0$$ (límite por la derecha) $$f(8) = \frac{1}{2} \times 8 - 1 = 4 - 1 = 3$$ Por lo tanto, en esta parte, $$f(x)$$ va desde justo arriba de $$0$$ hasta $$3$$. 4. **Conjunto imagen total:** - De la primera parte: $$[0, +\infty)$$ (porque $$|x|$$ es siempre positivo y crece hacia infinito para $$x \to -\infty$$). - De la segunda parte: $$[0, 3]$$. El conjunto imagen es $$[0, +\infty)$$. 5. **Graficar:** - Para $$x \leq 2$$, graficamos $$y = |x|$$, que es una "V" con vértice en $$x=0$$ y valor en $$x=2$$ igual a $$2$$. - Para $$2 < x \leq 8$$, graficamos la línea $$y = \frac{1}{2}x - 1$$ desde justo después de $$x=2$$ (con valor $$0$$) hasta $$x=8$$ (con valor $$3$$). 6. **Conclusión:** - Dominio: $$(-\infty, 8]$$ - Imagen: $$[0, +\infty)$$