Question: User: 3. Utilice la gráfica de la función t(x) que se muestra en la siguiente figura para contestar los siguientes incisos. a. ¿Cuál es el dominio de t(x)? b. ¿Cuál es el rango de t(x)? c. Determine los valores de t(-7), t(8) y t(0). d. Halle los intervalos de crecimiento. e. Halle los intervalos de decrecimiento f. Halle los máximos y mínimos locales. Respuestas: Graph: piecewise linear function t(x) with a filled point at $(-7,1)$, rising to $(-3,3)$, then falling to a filled point at $(0,0)$; an open point at $(0,4)$ rises to a filled point at $(1,5)$, then falls to a filled point at $(6,0)$ and continues falling to an open point at $(8,-2)$. position_hint=centerescribe el dominio en forma de union

1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la gráfica de la función $t(x)$ definida por tramos lineales con puntos indicados y se nos pide: a. Encontrar el dominio de $t(x)$. b. Encontrar el rango de $t(x)$. c. Calcular $t(-7)$, $t(8)$ y $t(0)$. d. Determinar los intervalos donde $t(x)$ crece. e. Determinar los intervalos donde $t(x)$ decrece. f. Encontrar los máximos y mínimos locales. 2. **Dominio de $t(x)$:** El dominio es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales $t(x)$ está definida. Observando la gráfica: - El primer punto lleno está en $x=-7$. - La función está definida hasta $x=8$ (punto abierto en $x=8$ indica que no está definido en $8$ pero sí hasta justo antes). Por lo tanto, el dominio es la unión de los intervalos donde la función está definida: $$\text{Dominio} = [-7,0) \cup [0,8)$$ Aquí usamos paréntesis en $0$ porque hay un punto abierto en $0$ con valor $4$ y un punto lleno en $0$ con valor $0$, indicando que la función tiene un salto en $x=0$. 3. **Rango de $t(x)$:** El rango es el conjunto de valores que toma $t(x)$. De la gráfica: - El valor mínimo es $-2$ (punto abierto en $x=8$ pero la función se acerca a $-2$). - El valor máximo es $5$ en $x=1$. Por lo tanto, el rango es: $$\text{Rango} = [-2,5]$$ 4. **Valores específicos:** - $t(-7)$ es el valor en el punto lleno $(-7,1)$, entonces $t(-7)=1$. - $t(8)$ es un punto abierto en $(8,-2)$, por lo que $t(8)$ no está definido. - $t(0)$ tiene dos valores: punto lleno en $(0,0)$ y punto abierto en $(0,4)$, la función toma el valor del punto lleno, entonces $t(0)=0$. 5. **Intervalos de crecimiento:** La función crece donde la pendiente es positiva. - De $x=-7$ a $x=-3$, la función sube de $1$ a $3$. - De $x=0$ (punto abierto) a $x=1$, sube de $4$ a $5$. Por lo tanto, los intervalos de crecimiento son: $$(-7,-3) \cup (0,1)$$ 6. **Intervalos de decrecimiento:** La función decrece donde la pendiente es negativa. - De $x=-3$ a $x=0$ (punto lleno), baja de $3$ a $0$. - De $x=1$ a $x=6$, baja de $5$ a $0$. - De $x=6$ a $x=8$ (punto abierto), baja de $0$ a $-2$. Por lo tanto, los intervalos de decrecimiento son: $$(-3,0) \cup (1,6) \cup (6,8)$$ 7. **Máximos y mínimos locales:** - Máximo local en $x=1$ con $t(1)=5$ (pico más alto en esa vecindad). - Mínimos locales en: - $x=0$ con $t(0)=0$ (punto lleno, valle entre subida y bajada). - $x=6$ con $t(6)=0$ (otro valle local). **Respuesta final:** - Dominio: $$[-7,0) \cup [0,8)$$ - Rango: $$[-2,5]$$ - Valores: $$t(-7)=1, \quad t(8) \text{ no está definido}, \quad t(0)=0$$ - Intervalos de crecimiento: $$(-7,-3) \cup (0,1)$$ - Intervalos de decrecimiento: $$(-3,0) \cup (1,6) \cup (6,8)$$ - Máximos locales: $$x=1, \quad t(1)=5$$ - Mínimos locales: $$x=0, t(0)=0 \quad \text{y} \quad x=6, t(6)=0$$