Vecteurs Parallelogramme Fc9Eaa

1. **Énoncé du problème** : Nous avons un parallélogramme $ABCD$ et des points $I, J, M, N, P$ définis par les relations vectorielles données. Nous devons exprimer $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$, puis déterminer si ces deux vecteurs sont colinéaires. 2. **Rappel des vecteurs dans un parallélogramme** : Dans un parallélogramme $ABCD$, on a $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ comme vecteurs de base. De plus, $\vec{CB} = -\vec{AD}$ et $\vec{DC} = -\vec{AB}$ car les côtés opposés sont parallèles et de même longueur mais de sens opposé. 3. **Exprimer les points en fonction de $A$** : - $\vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AD}$ donc $\vec{I} = \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{AD}$ - $\vec{CJ} = \frac{1}{2} \vec{CB} = \frac{1}{2} (-\vec{AD}) = -\frac{1}{2} \vec{AD}$ donc $\vec{J} = \vec{C} + \vec{CJ} = (\vec{A} + \vec{AB} + \vec{AD}) - \frac{1}{2} \vec{AD} = \vec{A} + \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD}$ - $\vec{DM} = 2 \vec{DC} = 2 (-\vec{AB}) = -2 \vec{AB}$ donc $\vec{M} = \vec{D} + \vec{DM} = (\vec{A} + \vec{AD}) - 2 \vec{AB} = \vec{A} + \vec{AD} - 2 \vec{AB}$ - $\vec{IJ} = \vec{J} - \vec{I} = (\vec{A} + \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD}) - (\vec{A} + \frac{1}{2} \vec{AD}) = \vec{AB}$ - $\vec{JN} = - \frac{3}{2} \vec{IJ} = - \frac{3}{2} \vec{AB}$ donc $\vec{N} = \vec{J} + \vec{JN} = (\vec{A} + \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD}) - \frac{3}{2} \vec{AB} = \vec{A} - \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD}$ - $\vec{AP} = \vec{AB}$ donc $\vec{P} = \vec{A} + \vec{AB}$ 4. **Calcul de $\vec{MN}$** : $$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left(\vec{A} - \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD}\right) - \left(\vec{A} + \vec{AD} - 2 \vec{AB}\right) = - \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD} - \vec{AD} + 2 \vec{AB}$$ Simplifions : $$\vec{MN} = \left(- \frac{1}{2} + 2\right) \vec{AB} + \left(\frac{1}{2} - 1\right) \vec{AD} = \frac{3}{2} \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AD}$$ 5. **Calcul de $\vec{MP}$** : $$\vec{MP} = \vec{P} - \vec{M} = (\vec{A} + \vec{AB}) - (\vec{A} + \vec{AD} - 2 \vec{AB}) = \vec{AB} - \vec{AD} + 2 \vec{AB}$$ Simplifions : $$\vec{MP} = (1 + 2) \vec{AB} - \vec{AD} = 3 \vec{AB} - \vec{AD}$$ 6. **Vérification de la colinéarité** : Deux vecteurs $\vec{u} = a \vec{AB} + b \vec{AD}$ et $\vec{v} = c \vec{AB} + d \vec{AD}$ sont colinéaires si et seulement si $ad - bc = 0$. Ici : $$a = \frac{3}{2}, b = -\frac{1}{2}, c = 3, d = -1$$ Calculons le déterminant : $$ad - bc = \frac{3}{2} \times (-1) - (-\frac{1}{2}) \times 3 = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$$ Donc, $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$ sont colinéaires. **Réponses finales :** - $\vec{MN} = \frac{3}{2} \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AD}$ - $\vec{MP} = 3 \vec{AB} - \vec{AD}$ - Les vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$ sont colinéaires : **Oui**.