Question: 3. Dadas la recta $$r: \begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$$ y el plano: $$\pi: -2x + 2y + \alpha z = \beta,$$ hallar los valores de $$\alpha$$ y $$\beta$$ para que la recta $$r$$ esté incluida en $$\pi$$.
4. Dadas las rectas de $$\mathbb{R}^2$$ $$r_1: \begin{cases} x = -3 + 4t \\ y = 2 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$$ y $$r_2: 3x + 2y = 6.$$ Hallar:
a) La ecuación explícita de una recta perpendicular a $$r_1$$ y que pasa por el origen de coordenadas.
b) El ángulo agudo entre $$r_1$$ y $$r_2$$.
1. **Problema 3: Encontrar $$\alpha$$ y $$\beta$$ para que la recta $$r$$ esté incluida en el plano $$\pi$$.
2. La recta $$r$$ está dada por:
$$x = -2 + 2t, \quad y = 1 - t, \quad z = 1 - 2t, \quad t \in \mathbb{R}$$
3. El plano $$\pi$$ está dado por:
$$-2x + 2y + \alpha z = \beta$$
4. Para que la recta $$r$$ esté incluida en el plano $$\pi$$, todos sus puntos deben satisfacer la ecuación del plano. Por lo tanto, sustituimos $$x, y, z$$ de $$r$$ en la ecuación del plano:
$$-2(-2 + 2t) + 2(1 - t) + \alpha (1 - 2t) = \beta$$
5. Simplificamos la expresión:
$$4 - 4t + 2 - 2t + \alpha - 2\alpha t = \beta$$
$$ (4 + 2 + \alpha) + (-4t - 2t - 2\alpha t) = \beta$$
$$ (6 + \alpha) + (-6 - 2\alpha) t = \beta$$
6. Para que la ecuación sea válida para todo $$t$$, el coeficiente de $$t$$ debe ser cero y el término independiente debe ser igual a $$\beta$$:
$$-6 - 2\alpha = 0 \implies -6 = 2\alpha \implies \alpha = -3$$
$$6 + \alpha = \beta \implies 6 - 3 = \beta \implies \beta = 3$$
7. **Respuesta problema 3:** $$\alpha = -3$$ y $$\beta = 3$$.
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8. **Problema 4a: Encontrar la ecuación explícita de una recta perpendicular a $$r_1$$ que pasa por el origen.**
9. La recta $$r_1$$ está dada por:
$$x = -3 + 4t, \quad y = 2 - t$$
10. La dirección de $$r_1$$ es el vector $$\vec{d_1} = (4, -1)$$.
11. Una recta perpendicular a $$r_1$$ tendrá un vector director $$\vec{d_2}$$ tal que:
$$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0$$
12. Si $$\vec{d_2} = (a, b)$$, entonces:
$$4a - 1 \cdot b = 0 \implies 4a = b$$
13. Podemos elegir $$a = 1$$, entonces $$b = 4$$, por lo que el vector director perpendicular es $$\vec{d_2} = (1, 4)$$.
14. La recta que pasa por el origen y tiene dirección $$\vec{d_2}$$ es:
$$x = t, \quad y = 4t, \quad t \in \mathbb{R}$$
15. **Respuesta problema 4a:** $$\boxed{\begin{cases} x = t \\ y = 4t \end{cases}}$$
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16. **Problema 4b: Hallar el ángulo agudo entre $$r_1$$ y $$r_2$$.**
17. La dirección de $$r_1$$ es $$\vec{d_1} = (4, -1)$$.
18. La recta $$r_2$$ está dada por:
$$3x + 2y = 6$$
19. Su vector normal es $$\vec{n_2} = (3, 2)$$, por lo que un vector director de $$r_2$$ es perpendicular a $$\vec{n_2}$$, por ejemplo:
$$\vec{d_2} = (2, -3)$$
20. El ángulo $$\theta$$ entre dos vectores $$\vec{d_1}$$ y $$\vec{d_2}$$ se calcula con:
$$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{\|\vec{d_1}\| \|\vec{d_2}\|}$$
21. Calculamos el producto punto:
$$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) = 8 + 3 = 11$$
22. Calculamos las normas:
$$\|\vec{d_1}\| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$
$$\|\vec{d_2}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$
23. Entonces:
$$\cos \theta = \frac{11}{\sqrt{17} \sqrt{13}} = \frac{11}{\sqrt{221}}$$
24. Calculamos $$\theta$$:
$$\theta = \arccos \left( \frac{11}{\sqrt{221}} \right) \approx 0.395 \, \text{rad}$$
25. Convertimos a grados:
$$\theta \approx 0.395 \times \frac{180}{\pi} \approx 22.6^\circ$$
26. **Respuesta problema 4b:** El ángulo agudo entre $$r_1$$ y $$r_2$$ es aproximadamente $$22.6^\circ$$.