Question: En el diseño de un domo geodésico, se necesita parametrizar una superficie semiesférica de radio $R=2$ dada por $x^2+y^2+z^2=4$, con $z=0$.
a) Encuentra una parametrización de la semiesfera.
b) Calcula el vector normal $r_u\times r_v$ a la superficie en cualquier punto ¿Qué información proporciona el vector normal?
1. **Planteamiento del problema:**
Se tiene una semiesfera de radio $R=2$ definida por la ecuación $$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$ con la condición $z \geq 0$ (semiesfera superior).
2. **Parametrización de la semiesfera:**
Usamos coordenadas esféricas para parametrizar la superficie. Sea $u$ el ángulo polar (colatitud) y $v$ el ángulo azimutal:
$$\begin{cases}
x = R \sin u \cos v \\
y = R \sin u \sin v \\
z = R \cos u
\end{cases}$$
Con $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ para la semiesfera superior y $v \in [0, 2\pi]$.
Para $R=2$:
$$r(u,v) = (2 \sin u \cos v, 2 \sin u \sin v, 2 \cos u)$$
3. **Cálculo de los vectores tangentes:**
Derivamos respecto a $u$:
$$r_u = \left(2 \cos u \cos v, 2 \cos u \sin v, -2 \sin u\right)$$
Derivamos respecto a $v$:
$$r_v = \left(-2 \sin u \sin v, 2 \sin u \cos v, 0\right)$$
4. **Cálculo del vector normal $r_u \times r_v$:**
$$r_u \times r_v = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 \cos u \cos v & 2 \cos u \sin v & -2 \sin u \\
-2 \sin u \sin v & 2 \sin u \cos v & 0
\end{vmatrix}$$
Calculamos el determinante:
$$= \mathbf{i} \left(2 \cos u \sin v \cdot 0 - (-2 \sin u) \cdot 2 \sin u \cos v\right) - \mathbf{j} \left(2 \cos u \cos v \cdot 0 - (-2 \sin u) \cdot (-2 \sin u \sin v)\right) + \mathbf{k} \left(2 \cos u \cos v \cdot 2 \sin u \cos v - 2 \cos u \sin v \cdot (-2 \sin u \sin v)\right)$$
Simplificando cada componente:
$$= \mathbf{i} (0 + 4 \sin^2 u \cos v) - \mathbf{j} (0 - 4 \sin^2 u \sin v) + \mathbf{k} (4 \cos u \sin u \cos^2 v + 4 \cos u \sin u \sin^2 v)$$
$$= (4 \sin^2 u \cos v, -4 \sin^2 u \sin v, 4 \cos u \sin u (\cos^2 v + \sin^2 v))$$
Como $\cos^2 v + \sin^2 v = 1$:
$$r_u \times r_v = (4 \sin^2 u \cos v, -4 \sin^2 u \sin v, 4 \cos u \sin u)$$
5. **Interpretación del vector normal:**
El vector normal $r_u \times r_v$ es perpendicular a la superficie en cada punto parametrizado. Proporciona la dirección ortogonal a la superficie, útil para calcular áreas, flujos y para entender la orientación de la superficie en el espacio.
6. **Resumen:**
- Parametrización:
$$r(u,v) = (2 \sin u \cos v, 2 \sin u \sin v, 2 \cos u)$$
- Vector normal:
$$r_u \times r_v = (4 \sin^2 u \cos v, -4 \sin^2 u \sin v, 4 \cos u \sin u)$$
- El vector normal indica la dirección perpendicular a la superficie en cada punto.