Question: 1. Aşağıda ayrıt uzunlukları birer tam sayı ve ön yüzeylerinin alanı 180 cm² olan özdeş dikdörtgen prizmalar verilmiştir.
10 cm
10 cm
Raf uzunluğu
180 cm²
Bu prizmalar raf uzunlukları eşit olan iki rafa ön yüzleri görünmeyecek şekilde birer yüzeyleri çakıştırılarak iki farklı düzende yerleştirildiğinde rafların sol tarafında 10’ar cm boşluk kalmaktadır.
Rafların her birinde birden fazla prizma bulunduğuna göre raf uzunluğu en az kaç santimetredir?
A) 40 B) 70 C) 100 D) 190
1. Problemi anlama: Ön yüzey alanı 180 cm² olan dikdörtgen prizma var. Ayrıt uzunlukları tam sayı ve 10 cm olan bir kenar var.
2. Ön yüzey alanı formülü: Dikdörtgen prizmanın ön yüzeyi bir dikdörtgendir ve alanı $\text{ön yüzey alanı} = \text{yükseklik} \times \text{genişlik}$ şeklindedir.
3. Verilen: Ön yüzey alanı $180$ cm², bir kenar uzunluğu $10$ cm.
4. Ön yüzey alanı $= 10 \times x = 180$ ise $x = \frac{180}{10} = 18$ cm.
5. Böylece prizmanın ön yüzü $10$ cm ve $18$ cm kenarlarından oluşur.
6. Prizmalar raflarda iki farklı düzende yerleştiriliyor ve her rafın solunda $10$ cm boşluk var.
7. Raf uzunluğu eşit ve her rafda birden fazla prizma var.
8. İlk düzen: Prizmalar dikey konumda, yani $10$ cm genişlik ve $18$ cm yükseklik.
9. İkinci düzen: Prizmalar yatay konumda, yani $18$ cm genişlik ve $10$ cm yükseklik.
10. Raf uzunluğu $L$ olsun. Rafın solunda $10$ cm boşluk olduğuna göre, prizmaların toplam uzunluğu $L - 10$ cm.
11. İlk rafda prizmalar $10$ cm genişlikte, sayısı $n$ olsun, toplam uzunluk $10n$.
12. İkinci rafda prizmalar $18$ cm genişlikte, sayısı $m$ olsun, toplam uzunluk $18m$.
13. Her iki rafın uzunluğu eşit olduğundan:
$$10n = 18m = L - 10$$
14. $n$ ve $m$ tam sayılar ve $n,m \geq 2$ (çünkü birden fazla prizma var).
15. $10n = 18m$ ifadesini sadeleştirelim:
$$5n = 9m$$
16. Burada $n$ ve $m$ tam sayılar olduğuna göre, $n$ 9'un katı, $m$ ise 5'in katı olmalıdır.
17. En küçük $n$ ve $m$ değerleri için:
- $n = 9$
- $m = 5$
18. Raf uzunluğu:
$$L - 10 = 10n = 10 \times 9 = 90$$
19. Böylece:
$$L = 90 + 10 = 100$$
20. Sonuç: Raf uzunluğu en az $100$ cm olmalıdır.
21. Doğru cevap C) 100