Garis Singgung Lingkaran A52E3F

1. **Nyatakan masalah:** Diberikan titik $A(2, -5)$ dan lingkaran dengan persamaan $$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$$. Kita diminta mencari persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $A$. 2. **Langkah pertama: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.** Persamaan lingkaran dapat ditulis ulang dengan melengkapi kuadrat: $$x^2 - 2x + y^2 + 6y + 5 = 0$$ Lengkapi kuadrat untuk $x$ dan $y$: $$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = -5 + 1 + 9$$ $$ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $$ Jadi, pusat lingkaran adalah $C(1, -3)$ dan jari-jari $r = \sqrt{5}$. 3. **Langkah kedua: Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik $A(2, -5)$.** Misalkan persamaan garis singgung adalah: $$y = mx + c$$ Karena garis melalui titik $A(2, -5)$, maka: $$-5 = 2m + c \Rightarrow c = -5 - 2m$$ 4. **Langkah ketiga: Kondisi garis singgung terhadap lingkaran.** Garis singgung hanya menyentuh lingkaran di satu titik, sehingga jarak dari pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari. Persamaan garis dalam bentuk umum: $$y = mx + c \Rightarrow mx - y + c = 0$$ Jarak dari titik $C(1, -3)$ ke garis: $$d = \frac{|m(1) - (-3) + c|}{\sqrt{m^2 + 1^2}} = \frac{|m + 3 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$ Karena $c = -5 - 2m$, maka: $$d = \frac{|m + 3 - 5 - 2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|-m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$ 5. **Langkah keempat: Gunakan kondisi jarak sama dengan jari-jari:** $$\frac{|m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$$ Kuadratkan kedua sisi: $$\frac{(m + 2)^2}{m^2 + 1} = 5$$ $$ (m + 2)^2 = 5(m^2 + 1) $$ $$ m^2 + 4m + 4 = 5m^2 + 5 $$ $$ 0 = 5m^2 - m^2 + 5 - 4m - 4 $$ $$ 0 = 4m^2 - 4m + 1 $$ 6. **Langkah kelima: Selesaikan persamaan kuadrat untuk $m$:** $$4m^2 - 4m + 1 = 0$$ Gunakan rumus kuadrat: $$m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ Karena diskriminan nol, hanya ada satu nilai $m = \frac{1}{2}$. 7. **Langkah keenam: Tentukan $c$:** $$c = -5 - 2m = -5 - 2 \times \frac{1}{2} = -5 - 1 = -6$$ 8. **Jawaban:** Persamaan garis singgung yang melalui titik $A(2, -5)$ adalah: $$y = \frac{1}{2}x - 6$$