Garis Singgung Tegak Lurus 9Bdd8A

1. Diberikan lingkaran dengan persamaan $$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0$$ dan garis $$x + 2y = 5$$. 2. Tujuan: mencari persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis $$x + 2y = 5$$. 3. Langkah pertama, cari gradien garis $$x + 2y = 5$$. - Bentuk garis menjadi $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$. - Gradien garis ini adalah $$m_1 = -\frac{1}{2}$$. 4. Garis yang tegak lurus garis ini memiliki gradien $$m_2$$ yang memenuhi $$m_1 \times m_2 = -1$$. - Jadi, $$m_2 = 2$$. 5. Selanjutnya, kita cari pusat dan jari-jari lingkaran. - Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar dengan melengkapi kuadrat: $$x^2 - 4x + y^2 + 6y = 7$$ $$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 7 + 4 + 9$$ $$ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 20$$ - Jadi, pusat lingkaran $$C(2, -3)$$ dan jari-jari $$r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$. 6. Persamaan garis singgung dengan gradien $$m_2 = 2$$ adalah: $$y = 2x + c$$ 7. Garis ini harus menyinggung lingkaran, artinya jarak dari pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari. - Jarak titik ke garis $$Ax + By + C = 0$$ adalah $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$. - Ubah persamaan garis ke bentuk $$Ax + By + C = 0$$: $$2x - y + c = 0$$ - Hitung jarak dari $$C(2, -3)$$ ke garis: $$d = \frac{|2(2) - 1(-3) + c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 3 + c|}{\sqrt{5}} = \frac{|7 + c|}{\sqrt{5}}$$ 8. Karena garis singgung, jarak $$d = r = 2\sqrt{5}$$. $$\frac{|7 + c|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$$ $$|7 + c| = 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 2 \times 5 = 10$$ 9. Jadi, dua kemungkinan: $$7 + c = 10 \Rightarrow c = 3$$ $$7 + c = -10 \Rightarrow c = -17$$ 10. Persamaan garis singgung yang tegak lurus garis $$x + 2y = 5$$ adalah: $$y = 2x + 3$$ atau $$y = 2x - 17$$. **Jawaban akhir:** $$y = 2x + 3$$ atau $$y = 2x - 17$$