Esercizi Var 1Fe960

1. Problema 32a: Trova il valore di $x$ nel triangolo rettangolo con angolo di $30^\circ$, lato opposto $9$ e ipotenusa $x$. Formula: In un triangolo rettangolo con angolo di $30^\circ$, il lato opposto è la metà dell'ipotenusa, quindi $\sin 30^\circ = \frac{9}{x} = \frac{1}{2}$. Calcolo: $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{9}{x} \Rightarrow x = \frac{9}{\frac{1}{2}} = 9 \times 2 = 18$$ Risposta: $x = 18$. 2. Problema 32b: Trova $x$ nel trapezio con $AB \parallel CD$, segmenti $18$, $5x$ e $x$ dati. Osserviamo che i triangoli formati sono simili per le parallele e proporzionalità. Impostiamo la proporzione: $$\frac{18}{5x} = \frac{x}{18}$$ Moltiplichiamo a croce: $$18 \times 18 = 5x \times x \Rightarrow 324 = 5x^2$$ Risolvendo per $x$: $$x^2 = \frac{324}{5}$$ $$x = \sqrt{\frac{324}{5}} = \frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{5}$$ Risposta: $x = \frac{18\sqrt{5}}{5}$. 3. Problema 34: In una circonferenza di diametro $AB$, con corda $AC$, perpendicolare da $C$ a $AB$ in $H$, dati $HB=3$ cm e $CH=6$ cm, determinare raggio, area e perimetro del triangolo $ABC$. Passi: - Il diametro $AB$ è la base, quindi $AB = 2r$. - $H$ è proiezione di $C$ su $AB$, quindi $AH = AB - HB = 2r - 3$. - Triangolo $CHB$ rettangolo con cateti $CH=6$ e $HB=3$, ipotenusa $CB$: $$CB = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ - Triangolo $ABC$ rettangolo in $C$ (per tesi di Thales), quindi: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ - $AC = AH = 2r - 3$, $BC = 3\sqrt{5}$, $AB = 2r$: $$ (2r - 3)^2 + (3\sqrt{5})^2 = (2r)^2 $$ $$ 4r^2 - 12r + 9 + 45 = 4r^2 $$ $$ -12r + 54 = 0 $$ $$ 12r = 54 \Rightarrow r = \frac{54}{12} = 4.5$$ Raggio: $r = 4.5$ cm. Area triangolo $ABC$: $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times CH = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$$ Perimetro: $$AB = 9, AC = AH = 2r - 3 = 9 - 3 = 6, BC = 3\sqrt{5}$$ $$P = 9 + 6 + 3\sqrt{5} = 15 + 3\sqrt{5}$$ 4. Problema 36: Una corda passa per il punto medio di un raggio ed è divisa in due parti di $4$ cm e $12$ cm. Determina la lunghezza del raggio. Passi: - Sia $r$ il raggio, il punto medio divide il raggio in due segmenti di $\frac{r}{2}$. - La corda è divisa in due segmenti $4$ e $12$, quindi la corda misura $16$. - Il punto medio del raggio è la distanza perpendicolare dalla corda al centro. - Usando il teorema di Pitagora nel triangolo formato dal raggio, metà corda e distanza dal centro: $$r^2 = \left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2 = 8^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2$$ $$r^2 = 64 + \frac{r^2}{4}$$ $$r^2 - \frac{r^2}{4} = 64$$ $$\frac{3r^2}{4} = 64$$ $$r^2 = \frac{64 \times 4}{3} = \frac{256}{3}$$ $$r = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$ Risposta: $r = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ cm. 5. Problema 38: In figura con $DE \parallel BC$, $CE = 4a$, rapporto $\frac{CE}{EA} = \frac{2}{3}$, determinare: a. $\frac{ED}{CB}$; b. $\frac{AH}{AK}$; c. $\frac{\text{Area}(ABC)}{\text{Area}(ADE)}$. Passi: - Dal rapporto $\frac{CE}{EA} = \frac{2}{3}$, $EA = \frac{3}{2} CE = 6a$. - Quindi $CA = CE + EA = 4a + 6a = 10a$. (a) Per i segmenti paralleli, i lati sono proporzionali: $$\frac{ED}{CB} = \frac{CE}{EA} = \frac{2}{3}$$ (b) Per i segmenti $AH$ e $AK$ (segmenti su un lato proporzionale): $$\frac{AH}{AK} = \frac{CE}{EA} = \frac{2}{3}$$ (c) Le aree di triangoli con lati proporzionali sono proporzionali al quadrato del rapporto dei lati: $$\frac{\text{Area}(ABC)}{\text{Area}(ADE)} = \left(\frac{CA}{DE}\right)^2 = \left(\frac{CE + EA}{CE}\right)^2 = \left(\frac{10a}{4a}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$ Risposte: a. $\frac{ED}{CB} = \frac{2}{3}$ b. $\frac{AH}{AK} = \frac{2}{3}$ c. $\frac{\text{Area}(ABC)}{\text{Area}(ADE)} = \frac{25}{4}$ 6. Problema 40: In trapezio isoscele $ABCD$ con base maggiore $AB$, base minore $CD$, lati obliqui congruenti alla base minore, perimetro $52$ cm, punto $E$ intersezione prolungamenti lati obliqui, rapporto perimetri triangoli $AEB$ e $DEC$ è $\frac{11}{5}$. Determina le lunghezze dei lati. Passi: - Sia $CD = x$, quindi i lati obliqui sono $x$ ciascuno. - Base maggiore $AB = y$. - Perimetro: $$P = AB + BC + CD + DA = y + x + x + x = y + 3x = 52$$ - I triangoli $AEB$ e $DEC$ hanno perimetri in rapporto $\frac{11}{5}$. - Poiché $E$ è intersezione prolungamenti lati obliqui, i triangoli sono simili con lati proporzionali. - Il rapporto di similitudine è $k = \frac{11}{5}$. - Il perimetro del trapezio è $y + 3x = 52$. - Dato che $AB$ è congruente al lato obliquo, $y = x$. - Quindi: $$x + 3x = 4x = 52 \Rightarrow x = 13$$ - Quindi: $$AB = y = x = 13$$ - Lati obliqui $BC = DA = 13$. Risposta: Lati del trapezio sono $AB = 13$, $BC = 13$, $CD = 13$, $DA = 13$ (trapezio isoscele con tutti lati uguali, quindi un rettangolo o quadrato).