Question: 22 Scrivi l'enunciato del teorema che ha come modello la figura qui a fianco e l'ipotesi e la tesi indicate qui sotto. Poi dimostra il teorema.
IPOTESI: circonferenza di centro $O$;
$AB \perp CD$, $O \in AB$, $P \in AB$,
$\{Q\} = AB \cap CD$
TESI:
$PC \cong PD$
1. **Enunciato del problema:**
Dimostrare che in una circonferenza di centro $O$, con $AB$ perpendicolare a $CD$, $O$ appartenente ad $AB$, $P$ punto su $AB$ e $Q$ intersezione di $AB$ e $CD$, i segmenti $PC$ e $PD$ sono congruenti.
2. **Ipotesi:**
- Circonferenza di centro $O$.
- $AB \perp CD$.
- $O \in AB$.
- $P \in AB$.
- $Q = AB \cap CD$.
3. **Tesi:**
Dimostrare che $PC \cong PD$.
4. **Dimostrazione:**
- Poiché $AB$ è perpendicolare a $CD$ in $Q$, allora $\angle PQC$ e $\angle PQD$ sono angoli retti.
- Consideriamo i triangoli $\triangle PQC$ e $\triangle PQD$.
- Essi condividono il lato $PQ$.
- Gli angoli $\angle PQC$ e $\angle PQD$ sono entrambi di $90^\circ$.
- Inoltre, $QC = QD$ perché $Q$ è punto di intersezione di $AB$ e $CD$ e $CD$ è una corda della circonferenza, quindi $Q$ è punto medio di $CD$ (dato che $AB$ è perpendicolare a $CD$ e passa per il centro $O$).
- Quindi, nei triangoli $\triangle PQC$ e $\triangle PQD$ abbiamo:
- $PQ$ lato comune.
- $\angle PQC = \angle PQD = 90^\circ$.
- $QC = QD$.
- Per il criterio di congruenza cateto-ipotenusa (o lato-angolo-lato in triangoli rettangoli), i due triangoli sono congruenti.
- Da ciò segue che i lati corrispondenti $PC$ e $PD$ sono congruenti.
5. **Conclusione:**
Abbiamo dimostrato che $PC \cong PD$ come richiesto.