Walec Stozek Kula 09B851

1. **Zadanie 1 (Grupa II):** Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku $12$. Oblicz pole powierzchni bocznej walca. 2. **Zadanie:** Pole powierzchni bocznej walca obliczamy ze wzoru: $$S_b = 2 \pi r h$$ 3. **Dane:** Przekrój osiowy walca to kwadrat o boku $12$, więc wysokość walca $h = 12$ oraz średnica podstawy $d = 12$, zatem promień $r = \frac{12}{2} = 6$. 4. **Obliczenia:** $$S_b = 2 \pi \times 6 \times 12 = 144 \pi$$ 5. **Odpowiedź:** Pole powierzchni bocznej walca wynosi $$144 \pi$$. --- 1. **Zadanie 2 (Grupa II):** Średnica podstawy stożka jest równa $18$, a jego wysokość $12$. Oblicz tangens kąta $\alpha$ zawartego między wysokością stożka a jego tworzącą. 2. **Zadanie:** Tangens kąta $\alpha$ między wysokością a tworzącą stożka obliczamy ze wzoru: $$\tan \alpha = \frac{r}{h}$$ 3. **Dane:** Średnica podstawy $d = 18$, więc promień $r = \frac{18}{2} = 9$, wysokość $h = 12$. 4. **Obliczenia:** $$\tan \alpha = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$$ 5. **Odpowiedź:** Tangens kąta $\alpha$ wynosi $$0.75$$. --- 1. **Zadanie 3 (Grupa II):** Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, wiedząc, że promień podstawy wynosi $7$ cm, a powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o kącie środkowym $60^\circ$. 2. **Zadanie:** Pole powierzchni całkowitej stożka to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej: $$S_c = \pi r^2 + S_b$$ 3. **Dane:** Promień $r = 7$, kąt środkowy wycinka $\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ rad. 4. **Obliczenia:** Pole powierzchni bocznej to pole wycinka koła o promieniu tworzącej $l$ i kącie $\theta$: $$S_b = \frac{\theta}{2\pi} \times 2 \pi l^2 = \theta l^2$$ Najpierw obliczamy długość tworzącej $l$ z twierdzenia Pitagorasa: $$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$ Ale nie mamy wysokości $h$, więc używamy wzoru na długość łuku wycinka: Długość łuku wycinka to obwód podstawy stożka: $$l \times \theta = 2 \pi r \Rightarrow l = \frac{2 \pi r}{\theta} = \frac{2 \pi \times 7}{\pi/3} = 2 \pi \times 7 \times \frac{3}{\pi} = 42$$ Pole powierzchni bocznej: $$S_b = \theta l^2 = \frac{\pi}{3} \times 42^2 = \frac{\pi}{3} \times 1764 = 588 \pi$$ Pole podstawy: $$\pi r^2 = \pi \times 7^2 = 49 \pi$$ Pole powierzchni całkowitej: $$S_c = 49 \pi + 588 \pi = 637 \pi$$ 5. **Odpowiedź:** Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi $$637 \pi$$. --- 1. **Zadanie 4 (Grupa II):** Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu $9\sqrt{3}$ cm$^2$. Oblicz objętość stożka. 2. **Zadanie:** Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ to: $$P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$ 3. **Dane:** $$9 \sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$ 4. **Obliczenia:** Pomnóżmy obie strony przez 4: $$36 \sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}$$ Podzielmy przez $\sqrt{3}$: $$36 = a^2 \Rightarrow a = 6$$ 5. **Wysokość stożka:** Wysokość trójkąta równobocznego to: $$h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$$ 6. **Objętość stożka:** Promień podstawy to połowa boku trójkąta (podstawy stożka): $$r = \frac{a}{2} = 3$$ Objętość stożka: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 3 \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 3 \sqrt{3} = 9 \pi \sqrt{3}$$ 7. **Odpowiedź:** Objętość stożka wynosi $$9 \pi \sqrt{3}$$. --- 1. **Zadanie 5 (Grupa II):** Oblicz stosunek objętości kuli opisanej na walcu do objętości kuli wpisanej w ten walec. 2. **Zadanie:** Walec ma promień $r$ i wysokość $h$. Kula wpisana ma promień $r$, a kula opisana ma promień równy połowie przekątnej walca. 3. **Obliczenia:** Promień kuli wpisanej: $$r_{wpisana} = r$$ Promień kuli opisanej: $$r_{opisana} = \frac{\sqrt{(2r)^2 + h^2}}{2} = \frac{\sqrt{4r^2 + h^2}}{2}$$ 4. **Objętości kul:** $$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Stosunek objętości: $$\frac{V_{opisana}}{V_{wpisana}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_{opisana}^3}{\frac{4}{3} \pi r_{wpisana}^3} = \left(\frac{r_{opisana}}{r_{wpisana}}\right)^3 = \left(\frac{\frac{\sqrt{4r^2 + h^2}}{2}}{r}\right)^3 = \left(\frac{\sqrt{4r^2 + h^2}}{2r}\right)^3$$ 5. **Uproszczenie:** $$= \left(\frac{\sqrt{4r^2 + h^2}}{2r}\right)^3 = \left(\frac{\sqrt{4 + \frac{h^2}{r^2}}}{2}\right)^3$$ 6. **Dla walca o wysokości równej średnicy podstawy:** Jeśli $h = 2r$, to: $$\frac{h^2}{r^2} = 4$$ Wtedy: $$\left(\frac{\sqrt{4 + 4}}{2}\right)^3 = \left(\frac{\sqrt{8}}{2}\right)^3 = \left(\frac{2 \sqrt{2}}{2}\right)^3 = (\sqrt{2})^3 = 2^{3/2} = 2 \sqrt{2} \approx 2.828$$ 7. **Odpowiedź:** Stosunek objętości kuli opisanej do kuli wpisanej wynosi $$\left(\frac{\sqrt{4r^2 + h^2}}{2r}\right)^3$$, a dla $h=2r$ jest to około $$2.828$$.