Question: 19. Ein Partner löst die folgenden Textaufgaben für einen Würfel der Kantenlänge 5 cm, der andere für einen Würfel der Kantenlänge 7 cm. Vergleicht eure Ergebnisse und verallgemeinert auf eine beliebige Kantenlänge $a$. a) Wie groß ist der Winkel, den die Raumdiagonale des Würfels (1) mit einer Kante bildet; (2) mit der Diagonalen einer Seitenfläche bildet? b) Wie groß ist der Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen?
1. **Problemstellung:**
Wir betrachten einen Würfel mit Kantenlänge $a$.
Gesucht sind:
a) Die Winkel zwischen
(1) der Raumdiagonale und einer Kante,
(2) der Raumdiagonale und der Diagonalen einer Seitenfläche.
b) Der Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen.
2. **Wichtige Formeln und Definitionen:**
- Kantenlänge: $a$
- Raumdiagonale $d_r = a\sqrt{3}$ (Verbindung gegenüberliegender Ecken im Würfel)
- Seitenflächendiagonale $d_f = a\sqrt{2}$ (Diagonale einer quadratischen Seitenfläche)
3. **Berechnung der Winkel:**
### a) (1) Winkel zwischen Raumdiagonale und Kante
- Die Raumdiagonale verläuft von $(0,0,0)$ zu $(a,a,a)$.
- Eine Kante verläuft z.B. von $(0,0,0)$ zu $(a,0,0)$.
Der Winkel $\theta_1$ zwischen zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ berechnet sich mit:
$$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Setze:
$$\vec{u} = (a,a,a), \quad \vec{v} = (a,0,0)$$
Skalarprodukt:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot a + a \cdot 0 + a \cdot 0 = a^2$$
Längen:
$$|\vec{u}| = a\sqrt{3}, \quad |\vec{v}| = a$$
Also:
$$\cos(\theta_1) = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Daraus folgt:
$$\theta_1 = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 54{,}74^\circ$$
### a) (2) Winkel zwischen Raumdiagonale und Seitenflächendiagonale
- Seitenflächendiagonale z.B. von $(0,0,0)$ zu $(a,a,0)$.
Setze:
$$\vec{u} = (a,a,a), \quad \vec{w} = (a,a,0)$$
Skalarprodukt:
$$\vec{u} \cdot \vec{w} = a^2 + a^2 + 0 = 2a^2$$
Längen:
$$|\vec{u}| = a\sqrt{3}, \quad |\vec{w}| = a\sqrt{2}$$
Also:
$$\cos(\theta_2) = \frac{2a^2}{a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{a^2 \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
Daraus folgt:
$$\theta_2 = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \approx 35{,}26^\circ$$
### b) Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen
- Zwei Raumdiagonalen, z.B. von $(0,0,0)$ zu $(a,a,a)$ und von $(a,0,0)$ zu $(0,a,a)$.
Vektoren:
$$\vec{u} = (a,a,a), \quad \vec{v} = (-a,a,a)$$
Skalarprodukt:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = a(-a) + a a + a a = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$$
Längen:
$$|\vec{u}| = a\sqrt{3}, \quad |\vec{v}| = a\sqrt{3}$$
Also:
$$\cos(\theta_3) = \frac{a^2}{a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{3}} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$$
Daraus folgt:
$$\theta_3 = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70{,}53^\circ$$
**Zusammenfassung:**
- Winkel Raumdiagonale-Kante: $\approx 54{,}74^\circ$
- Winkel Raumdiagonale-Seitenflächendiagonale: $\approx 35{,}26^\circ$
- Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen: $\approx 70{,}53^\circ$