Question: Alignment de points II
On considère un triangle non aplati $ABC$ et les points $M$ et $N$ définis par:
$AM = 3AB + BC$
$AN = -4AB + 2AC$
Les points $A$, $M$ et $N$ sont-ils alignés ?
Entrez votre réponse :
Alignement ? Oui Non
1. **Énoncé du problème** :
Nous avons un triangle non aplati $ABC$ et deux points $M$ et $N$ définis par les vecteurs:
$$\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$
$$\overrightarrow{AN} = -4\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$$
Nous devons déterminer si les points $A$, $M$ et $N$ sont alignés.
2. **Rappel de la méthode** :
Trois points $A$, $M$, $N$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires.
Cela signifie qu'il existe un scalaire $\lambda$ tel que:
$$\overrightarrow{AN} = \lambda \overrightarrow{AM}$$
3. **Exprimer $\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$** :
On sait que:
$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$$
4. **Réécrire $\overrightarrow{AM}$** :
$$\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$
5. **Vecteur $\overrightarrow{AN}$ donné** :
$$\overrightarrow{AN} = -4\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$$
6. **Vérification de la colinéarité** :
Cherchons $\lambda$ tel que:
$$-4\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = \lambda (2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$
Cela donne le système:
$$\begin{cases}
-4 = 2\lambda \\
2 = \lambda
\end{cases}$$
7. **Résolution du système** :
De la deuxième équation:
$$\lambda = 2$$
Substituons dans la première:
$$-4 \stackrel{?}{=} 2 \times 2 = 4$$
Ce qui est faux.
8. **Conclusion** :
Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $M$ et $N$ ne sont pas alignés.
**Réponse finale : Non**