Question: ১৫ নং প্রশ্নের সমাধান
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
দেওয়া আছে,
ABCD আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = AB = CD = ১৬ মিটার
এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = AD = BC = ১০ মিটার
∴ ABCD আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১৬ × ১০) বর্গমিটার
= ১৬০ বর্গমিটার
এখন, AE = CG = ৩ মিটার এবং CF = AH = ২ মিটার
∴ BE = AB - AE = ১৬ - ৩ = ১৩ মিটার
BF = BC - CF = ১০ - ২ = ৮ মিটার
এবং DH = AD - AH = ১০ - ২ = ৮ মিটার
DG = CD - CG = ১৬ - ৩ = ১৩ মিটার
সুতরাং, সমকোণী △BEF এর ক্ষেত্রফল = ১/২ × BE × BF
= ১/২ × ১৩ × ৮ = ১৬ × ৮ = ৫২ বর্গমিটার
এবং সমকোণী △DHG এর ক্ষেত্রফল = ১/২ × DH × DG
= ১/২ × ৮ × ১৩ = ৮ × ১৩ = ৫২ বর্গমিটার
∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = ABCD ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল - (△BEF এর ক্ষেত্রফল + △DHG এর ক্ষেত্রফল)
= ১৬০ - (৫২ + ৫২) = ১৬০ - ১০৪ = ৫৬ বর্গমিটার (উত্তর)
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৬ মিটার এবং প্রস্থ = ১০ মিটার
দেওয়া আছে, দেওয়ালের পুরুত্ব = ৫০ সেমি. = ৫০/১০০ = ০.৫০ মিটার
এবং দেওয়ালের উচ্চতা = ৩ মিটার
অতএব, দেওয়ালসহ ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৬ + (২ × ০.৫০) মিটার
= ১৬ + ১ = ১৭ মিটার
দেওয়ালসহ ক্ষেত্রের প্রস্থ = ১০ + (২ × ০.৫০) মিটার
= ১০ + ১ = ১১ মিটার
∴ দেওয়ালসহ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১৭ × ১১) বর্গমিটার
= ১৮৭ বর্গমিটার
দেওয়াল বাদে ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১৬ × ১০) বর্গমিটার
= ১৬০ বর্গমিটার
∴ দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = (১৮৭ - ১৬০) বর্গমিটার
= ২৭ বর্গমিটার
∴ দেওয়ালের আয়তন = দেওয়ালের ক্ষেত্রফল × দেওয়ালের উচ্চতা
= (২৭ × ৩) ঘনমিটার = ৮১ ঘনমিটার (উত্তর)
১৬ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ৩০ মিটার
∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৩০) = ২৪০০ বর্গমিটার
আমরা জানি, ১০০ বর্গমিটার = ১ এর
∴ ১ বর্গমিটার = ১/১০০ এর
∴ ২৪০০ বর্গমিটার = ১ × ২৪০০/১০০ এর = ২৪ এর (উত্তর)
দেওয়া আছে, পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
প্রস্থ = ৩০ মিটার
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = (৮০ + ২ × ২) মিটার
= (৮০ + ৪) = ৮৪ মিটার
পাড়সহ পুকুরের প্রস্থ = (৩০ + ২ × ২) মিটার
= (৩০ + ৪) = ৩৪ মিটার
পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৮৪ × ৩৪) বর্গমিটার
= ২৮৫৬ বর্গমিটার
পাড়বিহীন পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৩০) বর্গমিটার
= ২৪০০ বর্গমিটার
∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = (২৮৫৬ - ২৪০০) বর্গমিটার
= ৪৫৬ বর্গমিটার
বর্গাকার পাথরের দৈর্ঘ্য = ৫০ সেমি. = ৫০/১০০ = ০.৫০ মিটার
∴ বর্গাকার পাথরের ক্ষেত্রফল = (০.৫০ × ০.৫০) বর্গমিটার
= ০.২৫ বর্গমিটার
পুকুর পাড়ে পাথর বসাতে মোট পাথর লাগবে = ৪৫৬/০.২৫ = ১৮২৪ টি
অর্থ, ১টি পাথরের মূল্য ৭৫ টাকা
∴ ১৮২৪ টি পাথরের মূল্য (৭৫ × ১৮২৪) টাকা
= ১৩৬৮০০ টাকা (উত্তর)
দেওয়া আছে, পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৮০ মিটার
প্রস্থ = ৩০ মিটার এবং গভীরতা = ৩ মিটার
∴ পুকুরের পানির আয়তন = (৮০ × ৩০ × ৩) ঘনমিটার
= ৭২০০ ঘনমিটার
মেশিন দ্বারা ৬ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে ১ মিনিট
∴ মেশিন দ্বারা ১ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে ১/৬ মিনিট
∴ মেশিন দ্বারা ৭২০০ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে ৭২০০/৬ মিনিট
= ১২০০ মিনিট = ৬০০/৩০ ঘণ্টা
= ২০ ঘণ্টা (উত্তর)
১৬ নং প্রশ্নের ছবির বিবরণ: বাম দিকে একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের মধ্যে BEF এবং DHG নামের দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ কেটে নেওয়া হয়েছে; ডান দিকে একটি পুকুরের চারপাশে ২ মিটার প্রশস্ত পাড়, এবং পাড়ে বর্গাকার পাথর বসানোর চিত্র।
১৭ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
প্রস্থ = ৩০ মিটার
∴ পুকুরের পানির আয়তন = (৪০ × ৩০ × ৩) ঘনমিটার
= ৩৬০০ ঘনমিটার
মেশিন দ্বারা ৬ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে ১ মিনিট
∴ মেশিন দ্বারা ১ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে ১/৬ মিনিট
∴ মেশিন দ্বারা ৩৬০০ ঘনমিটার পানি সেচতে সময় লাগে ৩৬০০/৬ মিনিট
= ৬০০ মিনিট = ১০ ঘণ্টা (উত্তর)
১৭ নং প্রশ্নের ছবির বিবরণ: ৪০ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৩০ মিটার প্রস্থের একটি পুকুর, গভীরতা ৩ মিটার; মেশিন দ্বারা পানি সেচের প্রশ্ন।
ক. পুকুরটির ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করো। top-left
খ. ৫০ সেমি. বর্গাকার পাথর দ্বারা পাড়টি বাঁধানো হলে, প্রতিটি পাথরের মূল্য ৭৫ টাকা হলে পাথরি বাঁধানোতে কত টাকা খরচ হবে? top-right
গ. পানিপূর্ণ পুকুরটি পানি করতে কত ঘণ্টা লাগবে? bottom-left
ক. চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো। bottom-right
খ. প্রতি ঘনমিটার ১২.৫ টাকা হিসাবে চৌবাচ্চার সিমার পাত লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে? bottom-right
গ. চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় ৫০ সেমি. গভীর একটি সিঁড়ি সোলার ঘনক রাখা আছে। এক মিনিটে পানি ভরা পূর্ণ করার পর ঘনকটি তুলে আনা হলে পানির গভীরতা কত হবে? bottom-right
1. **সমস্যা বর্ণনা:**
আমাদের কাছে একটি আয়তাকার ক্ষেত্র ABCD আছে যার দৈর্ঘ্য $16$ মিটার এবং প্রস্থ $10$ মিটার। ক্ষেত্রের মধ্যে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle BEF$ এবং $\triangle DHG$ কাটা হয়েছে। AE = CG = $3$ মিটার, CF = AH = $2$ মিটার। আমরা রাস্তার ক্ষেত্রফল, দেওয়ালের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করব।
2. **ক্ষেত্রফল সূত্র:**
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $$\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$$
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $$\frac{1}{2} \times \text{ভিত্তি} \times \text{উচ্চতা}$$
3. **প্রথম ধাপ: আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়**
$$\text{ক্ষেত্রফল}_{ABCD} = 16 \times 10 = 160$$
4. **ত্রিভুজের পার্শ্ব নির্ণয়:**
$$BE = AB - AE = 16 - 3 = 13$$
$$BF = BC - CF = 10 - 2 = 8$$
$$DH = AD - AH = 10 - 2 = 8$$
$$DG = CD - CG = 16 - 3 = 13$$
5. **ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:**
$$\text{ক্ষেত্রফল}_{\triangle BEF} = \frac{1}{2} \times 13 \times 8 = 52$$
$$\text{ক্ষেত্রফল}_{\triangle DHG} = \frac{1}{2} \times 8 \times 13 = 52$$
6. **রাস্তার ক্ষেত্রফল:**
$$\text{রাস্তার ক্ষেত্রফল} = 160 - (52 + 52) = 160 - 104 = 56$$
7. **দেওয়ালের পরিমাপ:**
দেওয়ালের পুরুত্ব = $50$ সেমি = $$\frac{50}{100} = 0.5$$ মিটার
দেওয়ালের উচ্চতা = $3$ মিটার
8. **দেওয়ালসহ ক্ষেত্রের পরিমাপ:**
$$\text{দৈর্ঘ্য}_{\text{দেওয়ালসহ}} = 16 + 2 \times 0.5 = 17$$
$$\text{প্রস্থ}_{\text{দেওয়ালসহ}} = 10 + 2 \times 0.5 = 11$$
9. **দেওয়ালসহ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:**
$$\text{ক্ষেত্রফল}_{\text{দেওয়ালসহ}} = 17 \times 11 = 187$$
10. **দেওয়ালের ক্ষেত্রফল:**
$$\text{ক্ষেত্রফল}_{\text{দেওয়াল}} = 187 - 160 = 27$$
11. **দেওয়ালের আয়তন:**
$$\text{আয়তন}_{\text{দেওয়াল}} = 27 \times 3 = 81$$
---
**উত্তর:**
- রাস্তার ক্ষেত্রফল = $56$ বর্গমিটার
- দেওয়ালের আয়তন = $81$ ঘনমিটার