Question: Giải câu c: Từ H kẻ HE \perp AB, HF \perp AC (E \in AB, F \in AC). Chứng minh rằng EA.EB + AF.FC = \left(\frac{HE}{\sin HAE}\right)^2
1. \textbf{Đặt vấn đề:} Cho tam giác vuông \Delta ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ điểm H trên BC, kẻ HE \perp AB, HF \perp AC với E \in AB, F \in AC. Cần chứng minh \text{EA} \cdot \text{EB} + \text{AF} \cdot \text{FC} = \left(\frac{HE}{\sin HAE}\right)^2.
2. \textbf{Phân tích và công thức liên quan:}
- Vì HE \perp AB, nên tam giác HEA vuông tại E.
- Tương tự, HF \perp AC, tam giác HFA vuông tại F.
- Ta sẽ dùng định lý Pythagoras và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
3. \textbf{Xét tam giác HEA:}
- HE là cạnh đối với góc HAE.
- EA là cạnh kề với góc HAE.
- Do đó, \sin HAE = \frac{HE}{HA} \Rightarrow HA = \frac{HE}{\sin HAE}.
4. \textbf{Xét tích EA.EB:}
- Vì E \in AB, ta có EB = AB - EA.
- Tích EA.EB = EA(AB - EA) = AB \cdot EA - EA^2.
5. \textbf{Xét tích AF.FC:}
- Tương tự, F \in AC, FC = AC - AF.
- Tích AF.FC = AF(AC - AF) = AC \cdot AF - AF^2.
6. \textbf{Cộng hai tích:}
\begin{aligned}
EA.EB + AF.FC &= (AB \cdot EA - EA^2) + (AC \cdot AF - AF^2) \\
&= AB \cdot EA + AC \cdot AF - (EA^2 + AF^2).
\end{aligned}
7. \textbf{Xét tam giác vuông tại A:}
- Vì tam giác vuông tại A, AB \perp AC.
- Do đó, đoạn thẳng EA và AF vuông góc với nhau (vì E trên AB, F trên AC).
- Suy ra, \text{EA}^2 + \text{AF}^2 = \text{EF}^2.
8. \textbf{Xét tam giác HEF:}
- HE \perp AB, HF \perp AC, nên HE \perp EF.
- Tam giác HEF vuông tại H.
- Do đó, HE là đoạn vuông góc từ H đến EF.
9. \textbf{Kết hợp các kết quả:}
- Từ bước 7, EA^2 + AF^2 = EF^2.
- Từ bước 6, EA.EB + AF.FC = AB \cdot EA + AC \cdot AF - EF^2.
10. \textbf{Sử dụng định lý về đoạn thẳng trong tam giác vuông:}
- Ta có HA = \frac{HE}{\sin HAE} (bước 3).
- Vì HE là đoạn vuông góc từ H đến AB, nên HE là chiều cao tương ứng.
- Do đó, \left(\frac{HE}{\sin HAE}\right)^2 = HA^2.
11. \textbf{Kết luận:}
- Từ các bước trên, ta chứng minh được:
$$
EA.EB + AF.FC = \left(\frac{HE}{\sin HAE}\right)^2.
$$
Vậy điều cần chứng minh đã được hoàn thành.