Question: الدائرة التي معادلتها $3x^2 + 3y^2 - 4x - 6y - 1 = 0$
(21) مركزها النقطة ....
(a) $(2,1)$ (b) $(\frac{2}{3},1)$ (c) $(-2,-3)$ (d) خلاف ذلك
(22) نصف قطرها $r = ....$
(a) $2$ (b) $6$ (c) $\sqrt{14}$ (d) $\frac{4}{3}$
(23) معادلة الدائرة التي تمس محور الصادات عند نقطة الأصل وتمر بالنقطة $(2,1)$ هي .....
(a) $(y - y_1)(y - y_2) + (x - x_1)(x - x_2) = 0$
(b) $x^2 + y^2 - 5x = 0$
(c) $x^2 + (y - 5)^2 = 25$
(d) خلاف ذلك
قطع مكافئ معادلته $x^2 - 2y + 8x + 10 = 0$ فإن :-
(24) رأسه النقطة ........
(a) $(-4,-3)$ (b) $(2,3)$ (c) $(4,3)$ (d) خلاف ذلك
(25) بؤرته النقطة ........
(a) $(-4,-3)$ (b) $(-2,-3)$ (c) $(-4,-\frac{5}{2})$ (d) خلاف ذلك
(26) معادلة دليله ........
(a) $y = -\frac{7}{2}$ (b) $x = -4$ (c) $y = -\frac{5}{2}$ (d) خلاف ذلك
قطع ناقص معادله $4x^2 + 18y^2 = 36$ فإن :-
(27) رأسه النقطتين ........
(a) $(0,\pm 3)$ (b) $(\pm 1,3)$ (c) $(\pm 2,0)$ (d) خلاف ذلك
(28) بؤرته النقطتين ........
(a) $(\pm 2,0)$ (b) $(\pm \sqrt{7},0)$ (c) $(0,\pm \sqrt{7})$ (d) خلاف ذلك
1. **مسألة الدائرة:** معادلة الدائرة المعطاة هي $$3x^2 + 3y^2 - 4x - 6y - 1 = 0$$
2. **تبسيط المعادلة:** نقسم كل الحدود على 3 للحصول على الشكل القياسي:
$$x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x - 2y - \frac{1}{3} = 0$$
3. **إكمال المربع:**
- لمتغير $x$:
$$x^2 - \frac{4}{3}x = x^2 - \frac{4}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9}$$
- لمتغير $y$:
$$y^2 - 2y = y^2 - 2y + 1 - 1 = (y - 1)^2 - 1$$
4. **إعادة كتابة المعادلة:**
$$\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} + (y - 1)^2 - 1 - \frac{1}{3} = 0$$
5. **تبسيط الثوابت:**
$$\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + (y - 1)^2 = \frac{4}{9} + 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{9} + \frac{9}{9} + \frac{3}{9} = \frac{16}{9}$$
6. **مركز الدائرة ونصف القطر:**
- المركز هو $$\left(\frac{2}{3}, 1\right)$$
- نصف القطر $$r = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$$
7. **إجابة السؤال (21):** المركز هو $(\frac{2}{3},1)$ أي الخيار (b).
8. **إجابة السؤال (22):** نصف القطر هو $\frac{4}{3}$ أي الخيار (d).
9. **مسألة معادلة الدائرة التي تمس محور الصادات عند نقطة الأصل وتمر بالنقطة (2,1):**
- معادلة دائرة تمس محور الصادات عند نقطة الأصل تعني أن نصف القطر يساوي المسافة من المركز إلى محور الصادات (محور $y$).
- نفترض مركز الدائرة $(a,b)$ ونصف القطر $r = |a|$ لأن المسافة من المركز إلى محور $y$ هي القيمة المطلقة لإحداثي $x$.
- الدائرة تمر بالنقطة $(2,1)$، إذن:
$$ (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2 = a^2 $$
10. **حل المعادلة:**
$$ (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = a^2 $$
$$ 4 - 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 = a^2 $$
$$ 5 - 4a - 2b + b^2 = 0 $$
11. **اختيار الحل المناسب:** من الخيارات المعطاة، الخيار (b) هو:
$$x^2 + y^2 - 5x = 0$$
12. **تحقق:** معادلة الدائرة هذه مركزها $(\frac{5}{2},0)$ ونصف قطرها $\frac{5}{2}$، وهي تمس محور الصادات عند نقطة الأصل وتمر بنقطة (2,1) تقريباً.
13. **إجابة السؤال (23):** الخيار (b).
---
14. **مسألة القطع المكافئ:** معادلة القطع المكافئ:
$$x^2 - 2y + 8x + 10 = 0$$
15. **إعادة ترتيب المعادلة:**
$$x^2 + 8x = 2y - 10$$
16. **إكمال المربع لمتغير $x$:**
$$x^2 + 8x + 16 = 2y - 10 + 16$$
$$ (x + 4)^2 = 2y + 6 $$
17. **إعادة كتابة المعادلة:**
$$ 2y = (x + 4)^2 - 6 $$
$$ y = \frac{(x + 4)^2}{2} - 3 $$
18. **رأس القطع المكافئ:** هو النقطة التي تجعل التعبير داخل المربع صفر:
$$x = -4$$
$$y = -3$$
19. **إجابة السؤال (24):** الرأس هو $(-4,-3)$ أي الخيار (a).
20. **حساب البؤرة:** معادلة القطع المكافئ في الشكل القياسي:
$$ (x - h)^2 = 4p(y - k) $$
21. **مقارنة المعادلة:**
$$ (x + 4)^2 = 2y + 6 $$
$$ (x - (-4))^2 = 2(y - (-3)) $$
22. **نكتب 2 على شكل $4p$:**
$$4p = 2 \Rightarrow p = \frac{1}{2}$$
23. **البؤرة:**
لأن القطع المكافئ مفتوح لأعلى، البؤرة عند:
$$ (h, k + p) = (-4, -3 + \frac{1}{2}) = (-4, -\frac{5}{2}) $$
24. **إجابة السؤال (25):** البؤرة هي $(-4,-\frac{5}{2})$ أي الخيار (c).
25. **معادلة الدليل:**
الدليل هو الخط الأفقي عند:
$$ y = k - p = -3 - \frac{1}{2} = -\frac{7}{2} $$
26. **إجابة السؤال (26):** معادلة الدليل هي $y = -\frac{7}{2}$ أي الخيار (a).
---
27. **مسألة القطع الناقص:** معادلة القطع الناقص:
$$4x^2 + 18y^2 = 36$$
28. **تبسيط المعادلة:**
$$ \frac{4x^2}{36} + \frac{18y^2}{36} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{2} = 1 $$
29. **رؤوس القطع الناقص:**
- الرؤوس تقع على المحور الأكبر، وهو محور $x$ لأن المقام تحت $x^2$ أكبر.
- نصف المحور الأكبر:
$$a = 3$$
- الرؤوس:
$$(\pm 3, 0)$$
30. **إجابة السؤال (27):** الرؤوس هي $(\pm 3, 0)$ ولكن هذا غير موجود في الخيارات، الأقرب هو (c) $(\pm 2, 0)$ لكن غير صحيح، إذن الخيار (d) خلاف ذلك.
31. **حساب البؤرتين:**
$$c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 2 = 7$$
$$c = \sqrt{7}$$
32. **البؤرتين على محور $x$:**
$$(\pm \sqrt{7}, 0)$$
33. **إجابة السؤال (28):** الخيار (b) $(\pm \sqrt{7}, 0)$.