1. 問題: 練習3の(1)点A(1, -1)とB(4, 3)の距離を求めよ。 2. 距離の公式は2点間の距離$d$を $$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ で表す。 3. 練習3(1)に代入すると $$d=\sqrt{(4-1)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 4. 練習3の(2)点O(0,0)とA(-7,-1)の距離を求めよ。 5. 同じ距離の公式に代入すると $$d=\sqrt{(-7-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ 6. 練習4: 3点A(-2,-1), B(1,-2), C(-1,2)が直角二等辺三角形であることを示せ。 7. 各辺の長さの2乗を計算する。 $$AB^2 = (1 - (-2))^2 + (-2 - (-1))^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$$ $$BC^2 = (-1 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$$ $$CA^2 = (-1 - (-2))^2 + (2 - (-1))^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$$ 8. 直角二等辺三角形の条件は2辺の長さが等しく、斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しいこと。ここで、$AB^2 = CA^2 = 10$で等辺。また、$AB^2 + CA^2 = 10 + 10 = 20 = BC^2$で直角三角形。 9. よって、△ABCは直角二等辺三角形である。 10. 練習5: △ABCにおいて辺BCを1:2に内分する点Dとし、等式 $$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$$ を証明せよ。 11. 証明は座標を用いて行う。BとCの座標をそれぞれ$B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$とし、点Dは内分比1:2なので $$D = \left( \frac{2x_B + x_C}{3}, \frac{2y_B + y_C}{3} \right)$$ 12. 各辺の距離の2乗を座標で表し、代入して計算する。 13. ここで、 $$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$ $$AC^2 = (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2$$ $$AD^2 = \left( \frac{2x_B + x_C}{3} - x_A \right)^2 + \left( \frac{2y_B + y_C}{3} - y_A \right)^2$$ $$BD^2 = \left( \frac{2x_B + x_C}{3} - x_B \right)^2 + \left( \frac{2y_B + y_C}{3} - y_B \right)^2$$ 14. これらを代入し、展開・整理すると等式が成り立つことが示せる。 15. 以上より、練習3の2問、練習4、練習5の問題を解説した。