Question: 6 Rajah 2 menunjukkan dua buah segi empat tepat, JKLM dan PQRS.
Diagram 2 shows two rectangles, JKLM and PQRS.
(a) Ungkapkan luas, A cm², bagi kawasan berlorek dalam sebutan y.
Express the area, A cm², of the shaded region in terms of y.
(b) Jika luas kawasan berlorek itu ialah 168 cm², cari nilai y.
If the area of the shaded region is 168 cm², find the value of y.
Jawapan/Answer:
[5 markah/marks]
Diagram shape and math position_hint: top-center — a large outer rectangle PQRS contains a smaller inner rectangle JKLM, with equal border widths labelled y cm on all four sides, inner rectangle dimensions 12 cm by 10 cm.
7 Rajah 3 menunjukkan suatu trapezium.
Diagram 3 shows a trapezium.
(a) Ungkapkan luas, L cm², trapezium itu dalam sebutan t.
Express the area, L cm², of the trapezium in terms of t.
(b) Jika luasnya ialah 150 cm², hitung nilai t.
If the area is 150 cm², calculate the value of t.
(c) Hitung panjang, dalam cm, PS.
Calculate the length, in cm, of PS.
Jawapan/Answer:
[6 markah/marks]
Diagram shape and math position_hint: bottom-center — a trapezium PSRQ with parallel horizontal sides PQ = (2t + 2) cm and SR = (4t - 1) cm, and vertical right side QR = 3t cm, with right angles at Q and R.
1. **Nyatakan masalah:**
Kita ada dua segi empat tepat, JKLM (dalam) dan PQRS (luar). JKLM berukuran $12\text{ cm} \times 10\text{ cm}$.
Kawasan berlorek ialah kawasan antara PQRS dan JKLM dengan lebar sempadan $y$ cm.
2. **Cari luas kawasan berlorek (a):**
Luas PQRS = panjang × lebar = $(12 + 2y)(10 + 2y)$
3. Luas JKLM = $12 \times 10 = 120$
4. Luas kawasan berlorek $A = \text{Luas PQRS} - \text{Luas JKLM} = (12 + 2y)(10 + 2y) - 120$
5. Kembangkan:
$$(12 + 2y)(10 + 2y) = 12 \times 10 + 12 \times 2y + 2y \times 10 + 2y \times 2y = 120 + 24y + 20y + 4y^2 = 120 + 44y + 4y^2$$
6. Jadi,
$$A = 120 + 44y + 4y^2 - 120 = 44y + 4y^2$$
7. **Jawapan (a):**
$$A = 4y^2 + 44y$$
8. **Cari nilai $y$ jika $A = 168$ (b):**
$$4y^2 + 44y = 168$$
9. Bawa semua ke satu sisi:
$$4y^2 + 44y - 168 = 0$$
10. Bahagikan dengan 4 untuk mudahkan:
$$\cancel{4}y^2 + \cancel{44}y - \cancel{168} = 0 \Rightarrow y^2 + 11y - 42 = 0$$
11. Faktorkan:
$$(y + 14)(y - 3) = 0$$
12. Jadi, $y = -14$ (tidak logik kerana panjang tak boleh negatif) atau $y = 3$
13. **Jawapan (b):**
$$y = 3\text{ cm}$$
---
14. **Masalah trapezium (Rajah 3):**
Diberi trapezium PSRQ dengan sisi selari PQ = $(2t + 2)$ cm dan SR = $(4t - 1)$ cm, serta tinggi QR = $3t$ cm.
15. **Luas trapezium (a):**
Formula luas trapezium:
$$L = \frac{1}{2} \times (\text{jumlah sisi selari}) \times \text{tinggi}$$
16. Jumlah sisi selari:
$$(2t + 2) + (4t - 1) = 6t + 1$$
17. Jadi,
$$L = \frac{1}{2} \times (6t + 1) \times 3t = \frac{3t}{2} (6t + 1)$$
18. Kembangkan:
$$L = \frac{3t}{2} \times 6t + \frac{3t}{2} \times 1 = 9t^2 + \frac{3t}{2} = 9t^2 + 1.5t$$
19. **Jawapan (a):**
$$L = 9t^2 + 1.5t$$
20. **Cari nilai $t$ jika $L = 150$ (b):**
$$9t^2 + 1.5t = 150$$
21. Bawa semua ke satu sisi:
$$9t^2 + 1.5t - 150 = 0$$
22. Bahagikan dengan 1.5:
$$\cancel{1.5} \times 6t^2 + \cancel{1.5} t - \cancel{1.5} 100 = 0 \Rightarrow 6t^2 + t - 100 = 0$$
23. Gunakan formula kuadratik:
$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
dengan $a=6$, $b=1$, $c=-100$
24. Hitung diskriminan:
$$\Delta = 1^2 - 4 \times 6 \times (-100) = 1 + 2400 = 2401$$
25. Akar kuasa dua diskriminan:
$$\sqrt{2401} = 49$$
26. Jadi,
$$t = \frac{-1 \pm 49}{12}$$
27. Dua nilai:
$$t = \frac{48}{12} = 4$$ atau $$t = \frac{-50}{12} = -\frac{25}{6}$$ (tidak logik)
28. **Jawapan (b):**
$$t = 4$$
29. **Hitung panjang PS (c):**
PS adalah sisi miring trapezium, boleh guna teorem Pythagoras pada segi tiga kanan PSQ.
30. Panjang QR = $3t = 3 \times 4 = 12$ cm
31. Panjang PQ = $2t + 2 = 2 \times 4 + 2 = 10$ cm
32. Panjang SR = $4t - 1 = 4 \times 4 - 1 = 15$ cm
33. Panjang PS = hipotenus segi tiga PSQ, dengan sisi tegak QR dan sisi mendatar SR - PQ:
$$\text{mendatar} = 15 - 10 = 5\text{ cm}$$
34. Gunakan Pythagoras:
$$PS = \sqrt{(QR)^2 + (SR - PQ)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$
35. **Jawapan (c):**
$$PS = 13\text{ cm}$$