Question: User: Zadanie 3
Ile materiału zużyjesz, jeśli zechcesz stworzyć wypełniony model ostrosłupa? Możesz to szybko policzyć, korzystając z jego objętości. Co ciekawe, będzie to trzy razy mniej materiału niż
na graniastosłup o identycznej podstawie i wysokości.
Na poniższym rysunku przedstawiono model pomniejszonej piramidy, której podstawa jest kwadrat. Krawędź boczna piramidy ma długość $\sqrt{13}$ m, natomiast $\tg\angle SBO = \frac{2}{3}$.
Oblicz objętość tej piramidy.
Uzupełnij zdania.
1. Analizujemy trójkąt $SOB$. Korzystamy z informacji, że $\tg\angle SBO = \frac{2}{3}$, a wysokość ostrosłupa oznaczamy przez $H$. Możemy zapisać równość, że $|OB| = _____$.
2. Tym samym, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i zapisać, że _____.
3. Otrzymujemy, że _____.
1. Problem: Mamy ostrosłup o podstawie kwadratowej, krawędź boczna ma długość $\sqrt{13}$ m, a $\tg\angle SBO = \frac{2}{3}$. Należy obliczyć objętość ostrosłupa.
2. Zauważmy, że $S$ to wierzchołek ostrosłupa, $O$ to środek podstawy, a $B$ to wierzchołek podstawy. Wysokość ostrosłupa to $H = |SO|$.
3. Z definicji tangensa kąta $\angle SBO$ w trójkącie prostokątnym $SBO$ mamy:
$$\tg\angle SBO = \frac{|SB|}{|OB|} = \frac{2}{3}$$
4. Wysokość $H = |SO|$ jest przyprostokątną w trójkącie $SBO$, a $|OB|$ to druga przyprostokątna. Tangens kąta przy wierzchołku $B$ to stosunek przeciwprostokątnej $|SB|$ do przyprostokątnej $|OB|$.
5. Zatem:
$$|SB| = H$$
$$\tg\angle SBO = \frac{H}{|OB|} = \frac{2}{3} \implies |OB| = \frac{3}{2} H$$
6. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SBO$:
$$|SB|^2 = |SO|^2 + |OB|^2$$
czyli
$$H^2 + \left(\frac{3}{2} H\right)^2 = (\sqrt{13})^2$$
7. Rozpisujemy:
$$H^2 + \frac{9}{4} H^2 = 13$$
$$\frac{13}{4} H^2 = 13$$
8. Dzielimy obie strony przez $13/4$:
$$H^2 = \frac{13}{\frac{13}{4}} = 4$$
9. Zatem:
$$H = 2$$
10. Obliczamy $|OB|$:
$$|OB| = \frac{3}{2} H = \frac{3}{2} \times 2 = 3$$
11. Podstawa ostrosłupa to kwadrat o boku $2 \times |OB| = 2 \times 3 = 6$ (bo $O$ jest środkiem kwadratu, więc połowa boku to $|OB|$).
12. Pole podstawy:
$$P = 6^2 = 36$$
13. Objętość ostrosłupa:
$$V = \frac{1}{3} \times P \times H = \frac{1}{3} \times 36 \times 2 = 24$$
14. Odpowiedzi do uzupełnienia:
- $|OB| = \frac{3}{2} H$
- Równanie Pitagorasa: $\left(\frac{3}{2} H\right)^2 + H^2 = (\sqrt{13})^2$
- Wynik: $H = 2$ m, $|OB| = 3$ m
**Ostateczna objętość ostrosłupa wynosi $24$ metrów sześciennych.**