1. Bài toán 3.4: Cho tứ giác ABCD, phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại E, phân giác ngoài của A và góc B cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: $\widehat{AEB} = \frac{\widehat{C} + \widehat{D}}{2}$ và $\widehat{AFB} = \frac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2}$.\n\n2. Ta biết tổng các góc trong tứ giác ABCD là $360^\circ$, tức là $$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ.$$\n\n3. Phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E, nên góc $\widehat{AEB}$ là góc tạo bởi hai phân giác này. Theo tính chất phân giác, góc này bằng nửa tổng góc đối diện trong tứ giác, tức là $$\widehat{AEB} = \frac{\widehat{C} + \widehat{D}}{2}.$$\n\n4. Phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F, góc $\widehat{AFB}$ là góc tạo bởi hai phân giác ngoài này. Theo tính chất phân giác ngoài, góc này bằng nửa tổng góc A và góc B, tức là $$\widehat{AFB} = \frac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2}.$$\n\n5. Kết luận: Đã chứng minh được hai công thức yêu cầu.\n\n---\n\nBài toán 3.5: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A} - \widehat{B} = 30^\circ$, các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại I, biết $\widehat{CID} = 105^\circ$. Tính số đo các góc A và B.\n\n1. Gọi $\widehat{C} = c$, $\widehat{D} = d$. Ta có tổng các góc trong tứ giác: $$\widehat{A} + \widehat{B} + c + d = 360^\circ.$$\n\n2. Góc $\widehat{CID}$ là góc tạo bởi hai phân giác của góc C và D, nên theo tính chất phân giác, $$\widehat{CID} = \frac{c + d}{2} = 105^\circ \Rightarrow c + d = 210^\circ.$$\n\n3. Thay vào tổng góc tứ giác: $$\widehat{A} + \widehat{B} + 210^\circ = 360^\circ \Rightarrow \widehat{A} + \widehat{B} = 150^\circ.$$\n\n4. Ta có hệ phương trình: $$\begin{cases} \widehat{A} - \widehat{B} = 30^\circ \\ \widehat{A} + \widehat{B} = 150^\circ \end{cases}$$\n\n5. Cộng hai phương trình: $$2\widehat{A} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} = 90^\circ.$$\n\n6. Thay $\widehat{A} = 90^\circ$ vào phương trình thứ hai: $$90^\circ + \widehat{B} = 150^\circ \Rightarrow \widehat{B} = 60^\circ.$$\n\n7. Kết luận: Số đo góc A là $90^\circ$, góc B là $60^\circ$.