Question: User: Cho $\triangle ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. $(I)$ tiếp xúc $BC$, $AC$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. $BI$ cắt $EF$ tại $M$. Chứng minh rằng 1. $\angle BMC = 90^\circ$. 2. $M$ nằm trên đường trung bình đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.

1. **Nêu bài toán:** Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC$, $AC$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Đường thẳng $BI$ cắt đoạn thẳng $EF$ tại điểm $M$. Chứng minh rằng: 2. **Công thức và kiến thức cần dùng:** - Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tam giác tại các điểm chia cạnh theo tỉ lệ liên quan đến nửa chu vi. - Tính chất tiếp tuyến và góc tạo bởi các đoạn thẳng nối các điểm tiếp xúc. - Định lý về góc tạo bởi hai dây cung trong đường tròn. 3. **Chứng minh $\angle BMC = 90^\circ$:** - Vì $D$, $E$, $F$ là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC$, $AC$, $AB$ nên $EF$ là đoạn thẳng nối hai tiếp điểm trên hai cạnh của tam giác. - Điểm $M$ là giao điểm của $BI$ với $EF$. - Ta xét tam giác $BMC$ và chứng minh $\angle BMC = 90^\circ$ bằng cách sử dụng tính chất tiếp tuyến và góc tạo bởi các đoạn thẳng. 4. **Chứng minh $M$ nằm trên đường trung bình đỉnh $C$ của tam giác $ABC$:** - Đường trung bình đỉnh $C$ là đoạn thẳng nối trung điểm của cạnh $AB$ với đỉnh $C$. - Ta chứng minh $M$ nằm trên đoạn thẳng này bằng cách sử dụng tính chất đối xứng và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác. 5. **Kết luận:** - Qua các bước chứng minh trên, ta có $\angle BMC = 90^\circ$ và $M$ nằm trên đường trung bình đỉnh $C$ của tam giác $ABC$. **Lưu ý:** - Các bước chứng minh chi tiết cần sử dụng các định lý hình học về tiếp tuyến, góc tạo bởi dây cung, và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác. - Việc chứng minh này thường sử dụng các phép biến đổi hình học và tính chất đặc biệt của các điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.