Tam Giac Vuong 428171

1. **Nêu bài toán:** Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BM$ là đường trung tuyến, $K$ là điểm trên tia đối tia $MB$ sao cho $MK = MB$. Chứng minh: a) $CK$ vuông góc $AC$ b) $AK$ song song với $BC$ c) Tam giác $ABK$ bằng tam giác $CKB$. 2. **Phân tích và sử dụng định nghĩa:** - Vì $BM$ là đường trung tuyến nên $M$ là trung điểm của $AC$, tức là $AM = MC$. - Điểm $K$ nằm trên tia đối tia $MB$ sao cho $MK = MB$, nghĩa là $K$ nằm trên đường thẳng $MB$ nhưng ở phía đối diện với $B$ so với $M$, và đoạn $MK$ bằng đoạn $MB$. 3. **Chứng minh a) $CK \perp AC$:** - Gọi tọa độ $A(0,0)$, $C(2a,0)$ trên trục $x$ (vì $AC$ là cạnh góc vuông nằm trên trục $x$). - Vì tam giác vuông tại $A$, giả sử $B(0,2b)$ trên trục $y$. - $M$ là trung điểm $AC$, nên $M(a,0)$. - Vector $MB = B - M = (0 - a, 2b - 0) = (-a, 2b)$. - Điểm $K$ trên tia đối tia $MB$ sao cho $MK = MB$, tức là $K = M - MB = M - (B - M) = 2M - B$. - Tọa độ $K = (2a - 0, 0 - 2b) = (2a, -2b)$. - Vector $CK = K - C = (2a - 2a, -2b - 0) = (0, -2b)$. - Vector $AC = C - A = (2a - 0, 0 - 0) = (2a, 0)$. - Tích vô hướng $CK \cdot AC = 0 \times 2a + (-2b) \times 0 = 0$. - Vì tích vô hướng bằng $0$, nên $CK$ vuông góc $AC$. 4. **Chứng minh b) $AK$ song song $BC$:** - Vector $AK = K - A = (2a - 0, -2b - 0) = (2a, -2b)$. - Vector $BC = C - B = (2a - 0, 0 - 2b) = (2a, -2b)$. - Hai vector $AK$ và $BC$ bằng nhau nên $AK$ song song $BC$. 5. **Chứng minh c) Tam giác $ABK$ bằng tam giác $CKB$:** - Xét tam giác $ABK$ và $CKB$. - Cạnh chung $BK$. - $AB = CB$ vì tam giác vuông tại $A$ có $AB$ và $CB$ là hai cạnh góc vuông, và $M$ là trung điểm $AC$ nên $AB = CB$ (do tam giác cân tại $B$). - Góc $ABK$ và góc $CBK$ bằng nhau vì chúng là góc kề bên cạnh chung $BK$. - Do đó, tam giác $ABK$ bằng tam giác $CKB$ theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). **Kết luận:** - a) $CK$ vuông góc $AC$. - b) $AK$ song song $BC$. - c) Tam giác $ABK$ bằng tam giác $CKB$.