Tich Bm Cn D74773

1. **Đề bài:** Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, với $BC=2a$. Vẽ đường tròn tâm $O$ nằm trên đoạn $BC$ và tiếp xúc với hai cạnh bên $AB$ và $AC$. Một tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính tích $BM \cdot CN$. 2. **Phân tích và công thức:** - Tam giác cân tại $A$ nên $AB=AC$. - Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với hai cạnh bên $AB$ và $AC$ nên $O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ hoặc một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh bên. - Tiếp tuyến của đường tròn cắt $AB$ tại $M$ và $AC$ tại $N$. 3. **Giả sử:** - Gọi $D$ là tiếp điểm của đường tròn với $BC$. - Vì $O$ nằm trên $BC$, $O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. - Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC$ tại $D$, và $BD=DC=a$ (vì $BC=2a$ và $O$ nằm trên $BC$ trung điểm $D$). 4. **Tính các đoạn:** - Do tam giác cân tại $A$, $AB=AC$. - Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $AB$ tại $E$ và $AC$ tại $F$. - Tiếp tuyến tại $M$ và $N$ cắt $AB$ và $AC$. 5. **Sử dụng tính chất tiếp tuyến:** - Tiếp tuyến tại $M$ và $N$ với đường tròn $(O)$ nên $M$ và $N$ nằm trên tiếp tuyến chung. - Theo tính chất tiếp tuyến cắt hai cạnh, tích $BM \cdot CN = BD \cdot DC$. 6. **Kết luận:** - Vì $BD=DC=a$, nên $$BM \cdot CN = BD \cdot DC = a \cdot a = a^2.$$