1. **Problem statement:** Berechne den Umfang $u$ und den Flächeninhalt $A$ der zusammengesetzten Figur mit $a=8$ cm. 2. **Formeln und Regeln:** - Umfang $u$ ist die Summe aller Außenkantenlängen. - Flächeninhalt $A$ ist die Summe der Flächen der einzelnen Teilfiguren minus die Flächen der Aussparungen. - Die Figur besteht aus einem großen Halbkreis unten und drei kleineren Halbkreisen oben. - Radius großer Halbkreis: $r = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$ cm. - Jeder kleine Halbkreis hat Radius $r_{klein} = \frac{a}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ cm, da 3 Halbkreise die Länge $a$ teilen. 3. **Umfang berechnen:** - Umfang großer Halbkreis: $$U_{groß} = \pi r = \pi \times 4 = 4\pi$$ - Umfang eines kleinen Halbkreises: $$U_{klein} = \pi r_{klein} = \pi \times \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3}$$ - Da die kleinen Halbkreise nach innen gebogen sind, werden ihre Bögen vom Umfang abgezogen. - Gesamter Umfang: $$u = a + U_{groß} - 3 \times U_{klein} = 8 + 4\pi - 3 \times \frac{4\pi}{3} = 8 + 4\pi - 4\pi = 8$$ - Hier kürzen sich die Halbkreisbögen der kleinen Halbkreise mit dem großen Halbkreis weg, sodass nur die Grundlinie $a$ übrig bleibt. 4. **Flächeninhalt berechnen:** - Fläche großer Halbkreis: $$A_{groß} = \frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi \times 4^2}{2} = \frac{16\pi}{2} = 8\pi$$ - Fläche eines kleinen Halbkreises: $$A_{klein} = \frac{\pi r_{klein}^2}{2} = \frac{\pi \times \left(\frac{4}{3}\right)^2}{2} = \frac{\pi \times \frac{16}{9}}{2} = \frac{16\pi}{18} = \frac{8\pi}{9}$$ - Gesamtfläche der drei kleinen Halbkreise: $$3 \times A_{klein} = 3 \times \frac{8\pi}{9} = \frac{24\pi}{9} = \frac{8\pi}{3}$$ - Fläche der zusammengesetzten Figur: $$A = A_{groß} - 3 \times A_{klein} = 8\pi - \frac{8\pi}{3} = \frac{24\pi}{3} - \frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{3}$$ 5. **Numerische Werte:** - Umfang: $$u = 8$$ cm - Fläche: $$A = \frac{16\pi}{3} \approx 16.76$$ cm² **Antwort:** - Umfang $u = 8$ cm - Flächeninhalt $A \approx 16.76$ cm²