Vector Length 222386

1. **Nêu bài toán:** Cho điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 2; 5)$ trong không gian $Oxyz$. Tìm điểm $M(x; y; z)$ sao cho $\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA}$ và tính độ dài vectơ $\overrightarrow{OM}$. 2. **Công thức và quy tắc:** - Vectơ $\overrightarrow{MB} = (3 - x; 2 - y; 5 - z)$. - Vectơ $\overrightarrow{MA} = (1 - x; 2 - y; 3 - z)$. - Độ dài vectơ $\overrightarrow{OM} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. 3. **Lập hệ phương trình từ điều kiện:** $$\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA} \Rightarrow (3 - x; 2 - y; 5 - z) = 3(1 - x; 2 - y; 3 - z)$$ Tương đương với hệ: $$\begin{cases} 3 - x = 3(1 - x) \\ 2 - y = 3(2 - y) \\ 5 - z = 3(3 - z) \end{cases}$$ 4. **Giải hệ phương trình:** - Từ $3 - x = 3(1 - x)$: $$3 - x = 3 - 3x \Rightarrow 3 - x - 3 + 3x = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$$ - Từ $2 - y = 3(2 - y)$: $$2 - y = 6 - 3y \Rightarrow 2 - y - 6 + 3y = 0 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$$ - Từ $5 - z = 3(3 - z)$: $$5 - z = 9 - 3z \Rightarrow 5 - z - 9 + 3z = 0 \Rightarrow 2z = 4 \Rightarrow z = 2$$ Vậy $M(0; 2; 2)$. 5. **Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{OM}$:** $$|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ **Kết luận:** Độ dài vectơ $\overrightarrow{OM}$ là $2\sqrt{2}$.